6. Коэффициенты ошибок
Во многих случаях, входной сигнал системы представляет произвольную функцию времени. Определение ошибки системы, являющейся также функцией времени, методом изображений оказывается обычно громоздким. Тогда применяют разложение интеграла свертки в ряд Тейлора, позволяющее выразить ошибку в зависимости от входной функции, ее производных и последовательности коэффициентов, зависящих только от системы. Эти коэффициенты называются коэффициентами ошибок. Ограничиваясь конечным числом членов ряда, можно получить приближенное выражение ошибки. Верхнюю границу остаточного члена можно оценить и, таким образом, оценить точность полученного приближения. Этот вопрос рассматривается в работах [4], [26], [451-
Если обозначить передаточную функцию от входа к ошибке, т. е. 
через 
то интеграл типа свертки позволяет выразить ошибку 
через входной сигнал 
весовую функцию 
Именно
Интегрируя это уравнение по частям, получим
где
В этом выражении 
— коэффициент ошибки с номером 
— производная 
порядка от входного сигнала и 
— остаточный член.
Коэффициенты ошибки, как это видно из (III.6-3) и (III.6-4), зависят только от параметров системы и определяют ошибку 
с точностью до отброшенного остаточного члена при условии, что входной сигнал и его первые 
производных непрерывны в рассматриваемом интервале времени. Можно показать, что коэффициенты ошибок системы являются также коэффициентами разложения 
в ряд Маклорена, т. е.
Таким образом, наиболее просто определить коэффициенты ошибок, из разложения передаточной функции 
Если 
дробно-рациональная функция, то разложение можно получить, если полином в числителе разделить на иолином в знаменателе. Если же 
не является дробно-рациональной функцией, то коэффициенты ошибки, определяются формулой
Можно выразить 
через 
а коэффициенты ошибки — через, моменты функции веса 
оишбки:
Верхнюю границу остаточного члена 
можно оценить, воспользовавшись неравенством для модуля интеграла. Именно, модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Следовательно, если
в интересующем нас интервале времени, то верхняя граница остаточного члена оценивается из неравенства
Если функция 
знакопостоянна, то имеем
