ГЛАВА 6. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ И ИНТЕГРАЛА ОТ КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ НЕПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ

§ 6.1. Коррекция, обеспечивающая минимум среднего квадрата ошибки

В предыдущей главе рассматривался вариационный метод минимизации среднего квадрата ошибки в системе регулирования для случая, когда на ее структуру не накладываются никакие ограничения. Была получена весовая функция системы регулирования из решения интегрального уравнения Винера—Хопфа. Общая формула решения этого уравнения основана на разложении функции спектральной плотности на множители, предложенном Винером. Эта формула применима для случая, когда существует преобразование Фурье корреляционной функции.

Как уже упоминалось в главе 1, редко случается, чтобы человек, проектирующий систему регулирования, был полностью свободен в выборе ее передаточной функции. Обычно он ограничен некоторыми условиями, относящимися к выходным элементам. Следовательно, более реальная задача заключается в определении компенсирующих элементов системы регулирования, обеспечивающих возможный минимум среднего квадрата ошибки в присутствии заданных элементов. Эту задачу мы будем называть задачей минимизации среднего квадрата ошибки при непроизвольной структуре системы.

Как было показано в главе 1, контур обратной связи системы регулирования, показанный на рис. 1.7-1, можно заменить эквивалентной схемой, состоящей из последовательно соединенных элементов. Определяются характеристики последовательного корректирующего звена эквивалентной схемы, после чего могут быть найдены характеристики корректирующего звена замкнутой системы регулирования по формуле (1.7-4). Следовательно, эта глава будет посвящена в первую очередь определению характеристик корректирующего звена эквивалентной схемы системы регулирования. Для

случайных сигналов минимизация среднего квадрата ошибки приводит к несколько измененному уравнению Вннера—Хопфа, решение которого для эквивалентной схемы зависит от заданных элементов системы. После того как будет получена формула для среднего квадрата ошибки и рассмотрен пример на применение этой формулы, мы используем подобный метод для минимизации интеграла от квадрата ошибки для случая, когда сигналы, действующие на систему регулирования, являются регулярными функциями времени.

На рис. 6.1-1 показана эквивалентная схема системы регулирования. Все обозначения, приведенные на рис. 6.1-1, относятся к временной области. Дальнейшая задача заключается в том, чтобы определить весовую функцию последовательного корректирующего звена из условия минимума среднего квадрата ошибки между идеальным выходным сигналом и действительным сигналом на выходе системы

Рис. 6.1-1. Эквивалентная последовательная схема системы регулирования.

Квадрат ошибки определяется по формуле (5.2-2), которую для удобства приводим здесь еще раз

Сигнал на входе заданной части системы определяется интегралом свертки от функции веса корректирующего элемента и функции на входе последнего. Это можно записать в виде

Точно так же сигнал на выходе заданной части системы определяется сверткой функции веса и функции Это дает

Подставляя сюда из и меняя порядок интегрирования, получаем для сигнала на выходе

Отсюда легко получить выражение для квадрата сигнала на выходе

где, кроме переменных , введены дополнительно переменные интегрирования Для того чтобы получить мгновенное значение квадрата ошибки, необходимо подставить в формулу (5.2-2). Вычисляя в (5.2-2) среднее по времени для бесконечного интервала, получим средний квадрат ошибки в зависимости от корреляционной и взаимной корреляционной функции

Перейдем теперь к определению функции веса последовательного корректирующего звена, которая дает минимум среднему квадрату ошибки. При этом используются те же вариационные методы, которые применялись в § 5.2. Прежде всего предположим, что такое решение для функции веса существует. Это решение — мы обозначим его — дает минимум среднего квадрата ошибки относительно малых вариаций весовой функции — решения. Если придать решению вариацию то получим

Здесь — произвольная весовая функция физически осуществимой системы и — параметр, который определяется из дополнительного условия так, чтобы было решением. Если в (6.1-5) заменить согласно (6.1-6), то средний квадрат ошибки будет функцией Функция должна давать минимум среднему квадрату ошибки при малых вариациях Отсюда следует, что производная среднего квадрата должна быть равна нулю при

Эту формупу можно записать в развернутом виде, если подставить (6.1-6) в (6.1-5), продифференцировать но и положить Тогда получим

Вследствие четности корреляционной функции второй и третий члены в (6.1-8) равны между собой. Это можно показать, если произвести интегрирование вначале но переменной а затем по . В результате мы получим корреляционную функцию сигнала на выходе заданной части системы, на вход которой подается функция Далее, производя интегрирование по а затем по можно видеть, что второй и третий члены (6.1-8) равны между собой (они отличаются лишь обозначениями переменных интегрирования и знаком аргумента корреляционной функции). Объединяя второй и третий члены в левой части (6.1-8), получаем следующее уравнение:

где определяется выражением (6.1-10), записанным ниже. Поскольку — произвольная функции и может быть отлична от нуля при положительном значении времени, то должна быть равна нулю для положительных но может быть отлична от нуля для Весомая функция тождественно равна нулю для отрицательных значений времени, так как она соответствует физически осуществимой системе. Следовательно, окончательное условие для функции запишется в виде

Формула (6.1-10) является несколько измененной формой уравнения Еинера—Хопфа. Эта формула определяет такую весовую функцию последовательного корректирующего элемента, которая минимизирует средний квадрат ошибки. Интегральное уравнение (6.1-10) решается либо численными методами, либо но формулам, полученным в § 5.4 для случая, когда функция веса и корреляционные функции имеют преобразования Лапласа.

В отношении уравнения (6.1-10) мы предполагаем, что его решение определяет весовую функцию, которая дает мнимум среднему квадрату ошибки. Формально мы оправдываем это утверждение выполненной математической процедурой. Однако из физических соображений легко видеть, что решение должно соответствовать минимуму (или по крайней мере седловой точке), так как в общем случае средний квадрат ошибки по своей величине не ограничен сверху. Рассмотрение второй производной среднего квадрата ошибки но а, подобное тому, как это было сделано в § 5.2, показывает, что эта производная всегда положительна, и следовательно, функция неса, являющаяся решением уравнения (6.1-10), дает минимум ошибке (6.1-5).

Если преобразования Фурье весовых и корреляционных функций (6.1-10) существуют, то удобно воспользоваться формулой для точного решения, приведенной в § 5.4. При этом в формулах (5.4-1) и (6.1-10) можно устаноьить следующее соответствие между функциями:

Пользуясь этими соответствиями, мы видим, что изображения Лапласа определяются формулами

Подставляя эти изображения в формулу для точного решения, приведенную в § 5.4, а именно

получаем

Это решение определяет передаточную функцию последовательного корректирующего элемента для случая, когда заданная часть имеет передаточную функцию неминимально-фазового типа. Следовательно, перед тем как переходить к физической интерпретации уравнения (6.1-13), желательно коротко рассмотреть свойства передаточных функций минимально-фазового и неминимально-фазового типов.