§ 4.6. Нормировка функции спектральной плотности
При рассмотрении среднего квадрата ошибки как функции одного или нескольких параметров нормировка частоты и времени может упростить расчеты. Так обстоит дело, например, в сложных задачах, когда невозможно выразить все константы в буквенной форме. Большинство констант в таких задачах должно выражаться числами, чтобы предотвратить появление слишком сложных коэффициентов в выражении спектральной плотности. В этом параграфе рассмотрен способ нормировки, которая полезна при операциях со спектральными плотностями.
Напомним, что спектральная плотность есть преобразование Фурье корреляционной функции
Таким образом, общие правила нормировки преобразований, данные в § 2.5, непосредственно приложимы к спектральной плотности. Следовательно, если определить нормированное время
и нормированную частоту
то правило образования нормированной спектральной плотности из ненормированной выразится так:
Здесь 
служит основной единицей времени, по отношению к которой производится нормировка. Из определения нормировки спектра указанным способом вытекает, что
где 
— корреляционная функция, выраженная через нормированное время. Приведенные соотношения справедливы, конечно, как для обычной, так и для взаимной спектральной плотности. Все соотношения между спектральными плотностями, наподобие приведенных в §§ 4.2 — 4.4, в равной мере имеют силу и для нормированных спектров при условии, что передаточные функции также нормированы в соответствии с рассуждениями в § 2.5.
Следует отметить, что величину среднего квадрата функции можно определить по площади, ограниченной ее нормированной спектральной плотностью и мнимой осью, при условии, что интегрирование производится по нормированной частоте. Это действительно так, поскольку мы знаем, что значение среднего квадрата функции времени связано с ненормированной спектральной плотностью соотношением
Это соотношение можно записать в виде
Следовательно, в соответствии с правилом образования нормированной спектральной плотности, заданным соотношением (4.6-4), имеем
Индекс 11 используется здесь, чтобы показать, что отмеченная им спектральная плотность должна быть преобразованием корреляционной функции.
Применение нормировки неоднократно будет иллюстрироваться на примерах в тексте книги. Кроме того, следует подчеркнуть, что нормировка в особенности помогает при наличии численно заданных величин. Если же задача может быть полностью решена в буквенной форме, как в предыдущем примере, то применение нормировки не дает существенного выигрыша.
