§ 2.4. Выражение интегральной квадратичной ошибки через передающую функцию

При рассмотрении интегральной квадратичной ошибки в области времени все выкладки упрощаются, если ввести две новые функции, которые за отсутствием более подходящих определений будем называть передающей и взаимной передающей функциями. Пусть два произвольных входных сигнала. Тогда передающая функция определяется выражением

и взаимная передающая функция

Эти функции характеризуют сигналы Однако такая характеристика не является единственной. Обычно существует много функций которым соответствует одна и та же передающая функция. Из определения следует, что передающая функция является четной функцией именно

Это свойство можно заметить из (2.4-1), делая замену на и переменной интегрирования на Также легко можно показать, что изменение порядка индексов у взаимной передающей функции сопровождается переменой знака аргумента, т. е.

Основная цель введения передающих функций состоит в том, чтобы упростить выражения, включающие определенные интегралы от произведения сигналов.

Для иллюстрации вычисления передающих функций для частных сигналов обратимся к рис. 2.4-1. Сигнал согласно а), является прямоугольным импульсом. Сигнал согласно б), имеет вид зубца.

На основании определения взаимной передающей функции и кривых а) и б) можно записать

Вычисление определенных интегралов дает

Эта функция изображена на рис. 2.4-1, в. Точно так же можно вычислить функцию изображенную на рис. 2.4-1, г. Соотношение между кривыми графически иллюстрирует свойство формулы (2.4-4).

После введения передающей функции оказывается возможным производить вычисление интегральной квадратичной ошибки в области времени. Передающая функция ошибки имеет вид

Очевидно, интегральная квадратичная ошибка может быть получена,

если положить

Из рис. 2.1-2 следует, что

где — желаемый и — фактический сигналы на выходе системы регулирования. После подстановки (2.4-9) в (2.4-7) получаем

На основании определения передающих функций (2.4-10) можно записать в виде

Рис. 2.4-1. Пример взаимной передающей функции:

Здесь — передающая функция желаемого сигнала на выходе, — взаимные передающие функции между желаемым и фактическим выходными сигналами и, наконец, — передающая функция фактического сигнала на выходе системы. Фактический сигнал на выходе системы можно представить интегралом свертки от функции веса и входного сигнала, а именно

Следовательно, взаимная передающая функция между желаемым и фактическим сигналами на выходе имеет вид

Меняя порядок интегрирования, получаем

Если воспользоваться определением взаимной передающей функции между желаемым и входным сигналами, то (2.4-14) можно записать в виде

Аналогично

или

Передающую функцию фактического сигнала на выходе можно записать как

или

Подставляя (2.4-15), (2.4-17) и (2.4-19) в (2.4-11), получаем

Если положить теперь то получим формулу для интегральной квадратичной ошибки. Согласно (2.4-4), второй член в этой формуле будет равен третьему. Следовательно, имеем

Формула (2.4-21) дает желаемый результат для интегральной квадратичной ошибки в области времени.

Процедура минимизации этого выражения состоит в следующем. Весовая функция считается произвольной функцией некоторых параметров. Передающие функции вычисляются для данного входного и желаемого сигналов. После выполнения интегрирования, согласно (2.4-21), получаем как функцию параметров. Затем ищется минимум этой функции либо аналитическим путем, либо методом последовательных проб. К сожалению, в большинстве практических задач процедура минимизации может быть проделана только численно, так как изображения весовой функции и входного сигнала не являются дробно-рациональными функциями. Это получается из-за сложной зависимости весовой функции от параметров.

Интересная проверка правильности формулы (2.4-20) заключается в вычислении изображения Фурье ее правой и левой частей с последующим вычислением интегральной квадратичной ошибки. Очевидно, таким образом можно проверить предыдущий результат, полученный на основании теоремы Парсеваля. Обозначим изображение Фурье передающей функции через Именно

Для изображения второго члена правой части (2.4-20) можно записать

где изменен порядок интегрирования и экспонента разложена на два множителя в соответствии с переменными интегрирования в первом и втором интегралах. Очевидно, два интеграла в (2.4-23) можно рассматривать независимо один от другого. Тогда получаем

Учитывая соотношение

которое следует из (2.4-4), и вычисляя изображения остальных членов в (2.4-20), можно записать

Интегральная квадратичная ошибка равна оригиналу изображения (2.4-26), взятому при а именно

Подстановка изображения передающей функции ошибки (2.4-26) в равенство (2.4-27) дает выражение для интегральной квадратичной ошибки в частотной области. Очевидно, что это выражение отличается от выражения (2.3-1), полученного на основании теоремы Парсеваля. Для того чтобы объяснить это кажущееся различие в формулах, необходимо выразить изображение передающей функции через изображения соответствующих сигналов. Для изображения взаимной передающей функции на основании (2.4-2) и (2.4-22) получаем

Перемена порядка интегрирования дает

Интеграл по в (2.4-29) дает изображение сигнала Первый интеграл по дает с точностью до знака изображение

сигнала Следовательно, для изображения взаимной передающей функции имеем

Используя (2.4-30), можно формулу (2.4-26) переписать в виде

или

что равносильно

Подстановка (2.4-33) в (2.4-27) дает формулу (2.3-1). Таким образом, выражение интегральной квадратичной ошибки, полученное в зависимости от передающей и взаимной передающей функций, эквивалентно выражению, полученному ранее на основании теоремы Парсеваля.

Читатель может заметить, что передающие функции для многих широко известных сигналов обращаются в бесконечность вследствие расходимости интеграла (2.4-1). Примером являются передающие функции для единичной ступенчатой функции или для линейной функции времени. Преобразования Фурье этих функций не существуют. Например, если попытаться оценить интегральную квадратичную ошибку в задаче § 2.3 при помощи (2.4-21), то получим неопределенность вида

Подобное положение имеет место также при попытке оценить интегральную квадратичную ошибку для этой задачи при помощи уравнения (2.4-27). Когда возникают подобные ситуации, то решение часто можно получить за счет введения множителей сходимости в виде экспонент с малыми отрицательными показателями.

В заключение можно определить значение интегральной квадратичной ошибки, представленной в области времени. Однако вследствие сложной зависимости от параметров, для оценки встречающихся интегралов, обычно необходимо применять численные методы. В том случае, когда изображение ошибки является дробно-рациональной функцией, для вычисления интегральной квадратичной ошибки удобнее использовать теорему Парсеваля. В главе 6 придется вновь обратиться к решению в области времени, в связи с задачей минимизации интегральной квадратичной ошибки для случая систем произвольной структуры и структуры с ограничениями.