§ 6.4. Коррекция, обеспечивающая минимум интеграла от квадрата ошибки. Пример

До сих пор в этой главе рассматривались методы коррекции систем, на вход которых поступали случайные входные сигналы. Были найдены решения для эквивалентного последовательного корректирующего звена, которое необходимо применить для того, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки при произвольно заданных минимально-фазовых элементах системы. Однако многие задачи связаны с переходными процессами, возникающими в системе, и не имеют отношения к случайным сигналам. Для того чтобы подойти к решению таких задач, необходимо найти передаточную функцию

эквивалентного корректирующего звена, аналогично тому, как это было уже сделано. Вместо минимизации среднего квадрата ошибки для нахождения решения в этом случае используется условие минимума интеграла от квадрата ошибки. Минимум интеграла от квадрата ошибки достигается за счет выбора весовой функции корректирующего звена. В этом параграфе будут получены формулы для передаточной функции корректирующего звена системы. Кроме того, будет рассмотрен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

В § 2.4 для определения работы системы в переходном процессе было введено понятие передающей функции. Например, взаимная передающая функция между сигналами определялась формулой

В терминах передающей функции интеграл от квадрата ошибки системы регулирования можно записать в виде

В это уравнение входят весовые функции последовательного корректирующего звена и заданных элементов системы . В уравнение (6.4-1) входят передающая функция идеального выходного-сигнала взаимная передающая функция между входным и идеальным выходным сигналами и передающая функция входного сигнала Уравнение (6.4-1) аналогично уравнению (6.1-5) для среднего квадрата ошибки, в которое входят корреляционные функции. Вывод формулы интеграла от квадрата ошибки тождествен с выводом формулы среднего квадрата ошибки, за исключением того, что осреднение по времени во втором случае опускается.

Для получения условия, которому должна удовлетворять весовая, функция корректирующего звена для минимума интеграла от квадрата ошибки, будут использованы обычные методы вариационного исчисления. Для этой цели представим весовую функцию корректирующего звена в виде

где — весовая функция, при которой интеграл от квадрата ошибки имеет минимальное значение, — произвольная физически

осуществимая весовая функция и -некоторая постоянная. Используя те же рассуждения, что и в § 6.1, подставим функцию веса (6.1-6) в правую часть уравнения (6.4-1). Тогда интеграл от квадрата ошибки будет функцией Если является весовой функцией корректирующего звена, обеспечивающего минимум интеграла от квадрата ошибки, то производная интеграла от квадрата ошибки по должна быть равна нулю при Вычисляя производную по и приравнивая ее нулю, получаем следующее уравнение:

Решение уравнения (6.4-2) определяет во временной области функцию веса корректирующего звена, для которой интеграл от квадрата ошибки имеет минимальное значение.

Уравнение (6.4-2) для весовой функции корректирующего звена является обобщенным интегральным уравнением Винера — Хопфа (см. (5.4-1)). Поэтому для его решения применима точная формула (5.4-28) при условии, что передающие функции и весовая функция заданных элементов имеют преобразования Фурье. Таким образом, для передаточной функции корректирующего звена получаем следующее выражение:

Этот результат, конечно, тождествен по форме с уравнением (6.1-13). Единственное отличие состоит в замене функций спектральной плотности соответствующими преобразованиями Фурье передающих функций.

Уравнения (6.4-1) - (6.4-3) являются основными для случая регулярных входных сигналов и систем, на структуру которых наложены некоторые ограничения. Так же, как и для случайных сигналов, присутствие заданных элементов не влияет на решение при условии, что последние являются минимально-фазовыми. Передаточная функция всей системы зависит от заданных элементов только тогда, когда они не являются минимально-фазовыми.

Проиллюстрируем примером применение общей формулы для функции веса корректирующего звена, минимизирующего интеграл от квадрата ошибки в переходном режиме. В качестве заданного элемента в этом примере выберем элемент с чистым запаздыванием. В качестве

входного сигнала используем функцию, линейно изменяющуюся во времени. Идеальный сигнал на выходе примем равным входному сигналу. Для этого случая определим весовую функцию последовательного корректирующего звена, минимизирующего интеграл от квадрата ошибки, а также определим само минимальное значение интеграла от квадрата ошибки. Вначале дадим математическое выражение условий, относящихся к рассматриваемому примеру.

Дано. Передаточная функция заданного элемента имеет вид

Для входного сигнала имеем следующее выражение:

где — скорость изменения этой линейно возрастающей функции. Приведенные данные дополним определением идеального выходного сигнала в виде

В практике инженер, проектирующий следящие системы по положению или сервомеханизмы, часто пытается добиться неискаженного воспроизведения входного сигнала.

Необходимо определить. В этом примере необходимо определить передаточную функцию последовательного корректирующего звена, которая дает минимум интегралу от квадрата ошибки Кроме того, мы хотим определить значение интеграла от квадрата ошибки, когда система содержит корректирующее звено.

Решение. Передаточная функция корректирующего звена определяется из общей формулы (6.4-3) при подстановке в нее соответствующих функций. На основании (6.4-4) имеем

На основании (2.4-30) определяем преобразование Фурье передающей функции входного сигнала через изображение самого сигнала. А именно

Преобразование Фурье входного сигнала можно определить, если использовать для сходимости экспоненциальный множитель (см. приложение I). Тогда получим

Следовательно, изображение передающей функции входного сигнала определяется формулой

Так как идеальный выходной сигнал должен быть равен входному, то изображение взаимной передающей функции между входом и идеальным выходом запишется в виде

Изображение передающей функции входного сигнала можно разложить на два множителя

Знаки при переменной в (6.4-12) и (6.4-13) указывают на то, что полюс второго порядка изображения входного сигнала должен быть расположен слева от мнимой оси -плоскости в непосредственной близости от мнимой оси. То есть формально изображение входного сигнала можно записать в виде

На основании выражения для легко видеть, что знак минус в (6.4-12) получается при переходе к пределу при в Подобное соображение имеет место для (6.4-13).

Подставляя полученные функции в (6.4-3), выражение для передаточной функции последовательного корректирующего звена можем записать так:

Числитель этого выражения может быть представлен в виде

Постоянные и определяются разложением на простые дроби. Прибавляя к обеим частям функцию умножая на и полагая получим для

Повторяя те же самые операции и дополнительно дифференцируя по получаем для

Следовательно, передаточная функция эквивалентного корректирующего звена, которая минимизирует интеграл от квадрата ошибки,

определяется формулой

Интересно отметить, что коррекция в этом случае имеет такой простой вид.

Чтобы вычислить интеграл от квадрата ошибки при выбранной коррекции, выразим вначале ошибку как функцию времени и затем используем определение интегральной квадратичной ошибки, а именно

Ошибка, как функция времени, определяется интегралом свертки

где весовая функция, связывающая ошибку с входным сигналом. Весовая функция определяется формулой

Весовая функция всей системы определяется интегралом свертки от весовой функции корректирующего звена и весовой функции заданной части системы. Имеем

Весовая функция корректирующего звена является оригиналом изображения (6.4-19) и определяется формулой

Весовая функция заданной части системы соответствует элементу чистого запаздывания

Используя уравнения (6.4-22) - (6.4-25), определяем весовую функцию, связывающую ошибку с входным сигналом,

Если воспользоваться соотношением

и (6.4-21), то ошибку можно записать в виде

Подставляя в это уравнение из (6.4-5), получим

Это выражение можно переписать так

Подставляя (6.4-30) в (6.4-20), получаем значение интегральной квадратичной ошибки

Отсюда видно, что минимальное значение интегральной квадратичной ошибки в данном случае прямо пропорционально кубу постоянной времени запаздывания.

Рис. 6.4-1. Сигнал в различных точках системы с запаздыванием и коррекцией при линейном входном воздействии.

На рис. 6.4-1 показан вид сигналов в различных точках системы, рассмотренной в примере. Коррекция имеет целью сделать выходной сигнал равным входному с учетом запаздывания, имеющегося в заданной части системы. Для промежутка времени между нулем и временем задержки Т, очевидно, сигнал на выходе должен быть равен нулю из-за наличия запаздывания в заданной части системы. Следовательно, ошибка в этом интервале времени должна возрастать со скоростью возрастания входного сигнала. Это показано на рис. 6.4-1. Интересно отметить, что коррекция, определяемая из условия минимума интегральной квадратичной ошибки, в этом частном примере проявляется в том, что минимизирует максимальное значение абсолютной величины ошибки, интеграл от абсолютного значения ошибки или любую другую разумно выбранную величину, характеризующую качество работы системы. Это, конечно, не имеет места во всех случаях. Обычно минимизация интегральной квадратичной ошибки не влечет за собой минимума какого-либо другого показателя качества.

Этим примером мы завершаем рассмотрение минимизации интегральной квадратичной ошибки системы с заданными элементами. Повсюду в процессе этого рассмотрения предполагалось, что заданные элементы являются устойчивыми. Это было необходимо для того, чтобы при расчете использовать эквивалентную схему последовательной коррекции вместо действительной схемы, в которой корректирующий элемент должен быть расположен в цепи обратной связи. Использование схемы эквивалентной последовательной коррекции существенно упрощает задачу расчета системы. Однако требование устойчивости заданных элементов системы может оказаться слишком жестким. В следующем параграфе рассматривается метод решения подобной задачи для случая неустойчивых заданных элементов системы.