§ 4.4. Формула среднего квадрата ошибки; процедура минимизации

Соотношения для спектральных плотностей, данные в предыдущем параграфе, являются основой при выводе формулы среднего квадрата ошибки системы регулирования. Средний квадрат ошибки системы регулирования, т. е. значение среднего квадрата разности между желаемым или идеальным выходом и действительным выходом, тождественно равен значению корреляционной функции ошибки при нулевом сдвиге

Поэтому для среднего квадрата ошибки будем употреблять символ Мы знаем из уравнения (4.2-8), что средний квадратошибки равен также площади под кривой спектральной плотности ошибки при условии, что спектр выражен в функции действительной частоты При комплексной частоте средний квадрат ошибки

Это легко установить, подставив Остается показать, как связана спектральная плотность ошибки с передаточной функцией, характеризующей систему регулирования.

Ошибка системы регулирования определяется так:

где — идеальный выход, — реальный выход. На рис. 4.4-1 указано, как можно представить эту ошибку в виде разности

выходов двух линейных систем. Поскольку вход и выход первой системы тождественны, импульсная реакция этой системы есть сам импульс при Из сравнения рис. 4.3-1 с рис. 4.4-1 можно установить следующие тождества:

Применим теперь уравнение (4.3-16) к оценке спектральной плотности ошибки; для этого изменим в нем обозначения в соответствии с рис. 4.4-1

Подстановка этих величин в (4.3-16) позволяет выразить спектральную плотность ошибки так:

Рис. 4.4-1. Ошибка как разность между выходами двух систем.

Здесь мы использовали тот факт, что Эта формула является одним из основных способов выражения спектральной плотности ошибки через передаточную функцию системы. При заданной спектральной плотности идеального выхода взаимной спектральной плотности между входом и идеальным выходом и спектральной плотности входа мы можем расценивать спектральную плотность ошибки как функцию параметров передаточной функции Подстановка спектра в уравнение (4.4-2) дает средний квадрат ошибки в функции параметров системы. Если передаточная функция и спектральные плотности являются дробно-рациональными функциями то таблицы определенных интегралов, приведенные в приложении V, позволяют выполнить вычисление по формуле (4.4-2) весьма просто. При этих условиях окончательное выражение среднего квадрата ошибки будет зависеть от коэффициентов указанных дробно-рациональных функций. Если же спектральные плотности и передаточная функция не являются дробно-рациональными функциями, то интеграл (4.4-2) вычислить

трудно; наиболее общий способ вычисления (4.4-2) - приближение иррациональных функций рациональными.

Входной сигнал системы регулирования часто состоит из полезного сигнала, являющегося заданной регулярной или случайной функцией и помехи Таким образом,

Рис. 4.4-2. Образование входа из полезного сигнала и шума.

В этом случае желаемый, или идеальный, выход должен быть связан только с полезной компонентой входного сигнала, как это показано на рис. 4.4-2. Обозначим передаточную функцию гипотетической линейной системы, связывающей идеальный выход с полезной компонентой входа, через Спектральные плотности полезной составляющей и помехи будем обозначать буквами и соответственно. Букву V, как и прежде, отнесем к полному выходному сигналу. Из уравнения (4.3-9) видим, что

Умножив обе части (4.4-5) на после усреднения получим корреляционные функции, которые после преобразования Фурье дадут равенство

Уравнение (4.2-5) позволяет написать

Применив уравнение (4.3-16), видим, что

Подставляя эквивалентные значения из (4.4-6), (4.4-8), (4.4-9) в уравнение (4.4-4) и заменяя правой частью (4.4-7), получим

Здесь мы использовали тот факт, что является четной функцией. Этот результат можно упростить, вводя передаточную функцию ошибки которая представляет собой разность между идеальной и действительной передаточными функциями

Спектральную плотность ошибки можно выразить через передаточную функцию ошибки

Последнее выражение спектральной плотности ошибки особенно удобно тогда, когда взаимная корреляция между сигналом и шумом отсутствует и, следовательно, равна нулю взаимная спектральная плотность. При этом ошибка будет состоять из двух компонент. Одна компонента соответствует входному сигналу, прошедшему через систему с передаточной функцией ошибки; вторая — соответствует шуму, прошедшему через систему с передаточной функцией регулируемой системы.

Приведенное рассуждение показывает, как можно выразить средний квадрат ошибки в функции параметров системы регулирования: во-первых, определением спектральной плотности ошибки, во-вторых, определением площади под кривой этой спектральной плотности вдоль мнимой оси. Остается показать, как можно минимизировать средний квадрат ошибки выбором параметров. Вообще существует два подхода. Первый формальный технический прием приравнивания нулю частных производных среднего квадрата ошибки по каждому произвольному параметру и решения полученных уравнений с целью определения желаемых значений параметров. В большинстве практических задач выражения частных производных настолько сложны, что возможность их алгебраического решения для определения значений параметров отпадает. Другой возможный подход заключается в определении значения минимума среднего квадрата ошибки с помощью диаграмм. Этот подход в особенности эффективен, если имеются только один или два произвольных параметра; таким свойством обладают многие практические задачи. Минимизация среднего квадрата ошибки для стохастического сигнала идентична, вообще говоря, задаче минимизации интегральной квадратичной ошибки для временнбго сигнала, так как подлежащие вычислению интегралы имеют одну и ту же форму. Поэтому рассмотрение задачи

минимизации интегральной квадратичной ошибки, приведенное в главе 2, подходит также к случаю минимизации среднего квадрата ошибки.

Вывод формулы и минимизация среднего квадрата ошибки станут более ясными при решении некоторых примеров. В следующем параграфе это иллюстрируется на простой задаче, для которой удобно применить формальный метод минимизации.