§ 5.3. Пример решения интегрального уравнения

В качестве примера на определение весовой функции непосредственно из (5.2-18) рассмотрим упрощенную задачу предсказания. Вход в этой задаче не подвергается действию шума, так что идеальный выход идентичен входу, но сдвинут во времени на постоянную величину. Точная постановка задачи такова.

Дано. На вход воздействует прямоугольный сигнал величины и с точками пересечения (нулевыми точками), распределенными

по Пуассону, при средней частоте Идеальным выходом будет сигнал той же формы, что и на входе, но сдвинутой на постоянную величину а

Отрицательное а соответствует идеальному выходу, запаздывающему по сравнению со входом. Соотношение между входом и идеальным, выходом показано на рис. 5.3-1 (для а>0).

Рис. 5.3-1. Вх;д и идеальный выход.

Требуется найти весовую функцию системы, минимизирующую средний квадрат ошибки.

Решение. Вначале дадим физическую интерпретацию интегральному уравнению вида (5.2-18). Мы можем переписать это уравнение следующим образом:

Левая часть уравнения является сверткой входной корреляционной: функции с весовой функцией системы. Мы можем, следовательно, интерпретировать решение интегрального уравнения как определение весовой функции системы, воздействие которой на корреляционную функцию входа приводит к функции равной взаимнокорреляционной функции входа и идеального выхода при

При может иметь любое значение. Эта физическая интерпретация иллюстрируется рис. 5.3-2. Другими словами, решение интегрального уравнения эквивалентно испытанию бесконечного множества всех возможных физически реализуемых весовых функций с целью выбрать одну такую, которая приводит к совпадающей со взаимнокорреляционной функцией входа и идеального выхода при Эта интерпретация интегрального уравнения является совершенно

Рис. 5.3-2. Интерпретация интегрального уравнения. — такое значение при котором

общей; наша частная задача представляет удобный случай ее приложения.

Для приложения физической интерпретации к рассматриваемой задаче мы должны иметь входную корреляционную функцию и взаимно-корреляционную функцию между входом и идеальным выходом Входная корреляционная функция задается соотношением

Такой результат получен в § 3.6. Повторно приводим определение взаимно-корреляционной функции

Подставляя в это уравнение значение идеального выхода из (5.3-1), получим

Таким образом, мы видим, что

Взаимно-корреляционная функция идентична с корреляционной функцией, за исключением временного сдвига на а. Выражение взаимнокорреляционной функции в настоящей задаче будет

Корреляционная функция входа и взаимно-корреляционная функция между входом и идеальным выходом показаны на рис. 5.3-3.

Рассмотрим случай положительных а. Как показано на рис. 5.3-3, в области положительного времени взаимно-корреляциониая функция совпадает с корреляционной функцией с точностью до убывающего множителя Если бы весовая функция была единичным импульсом, то была бы равна корреляционной функции. Таким образом, решение интегрального уравнения в этом случае является просто единичным импульсом, умноженным на убывающий множитель. Аналитически мы можем выразить весовую функцию так:

Рассмотрим теперь случай отрицательных а. Здесь взаимно-корреляционная функция отстает от корреляционной функции, но имеет точно такой же вид. Если весовая функция является единичным

импульсом, запаздывающим на время отставания взаимно-корреляционной функции относительно корреляционной функции, то будет, очевидно, равна взаимно-корреляционной функции при положительном . Таким образом,

В случае предсказания можно дать следующее объяснение полученного результата. Входная функция в данной задаче существенно непредсказуема. Знание одной точки пересечения не позволяет узнать, где будет любая другая точка пересечения. В этой ситуации система, минимизирующая средний квадрат ошибки, не предпринимает попытки предсказать будущее на основе анализа прошлого; она указывает только на то, что ближайшее будущее, вероятно, более сходно с настоящим, в то время как отдаленное будущее, вероятно, менее связано с настоящим. Эта ситуация имеет большое сходство с задачей прогнозирования погоды в определенных областях мира, например в Бостоне.

Рис. 5.3-3. Корреляционная функция входа и взаимно-корреляционная функция между входом и идеальным выходом.

В заключение отметим, что приведенный пример является одним из тех немногих, когда решение интегрального уравнения самоочевидно. В большинстве же задач решение интегрального уравнения столь легко получаться не будет. В следующем параграфе рассматривается формальный способ решения интегрального уравнения типа Винера — Хопфа с применением преобразования Фурье. Этот способ применим ко многим практическим задачам, если в преобразовании используются приближения по аналитическим функциям. Иногда желательно, однако, оставаться во временной области и решать интегральное уравнение непосредственно, как было сделано в приведенном примере. В этом случае для приближенного решения интегрального уравнения полезно применять численный анализ.