§ 5.4. Точная формула для определения весовой функции

В этом параграфе дается точное решение интегрального уравнения типа Винера — Хопфа. Общий вид этого интегрального уравнения есть

Частным случаем интегрального уравнения этого типа является уравнение (5.2-18), решение которого дает весовую функцию системы, минимизирующую средний квадрат ошибки, при совершенно произвольной структурной схеме системы. Функция в (5.4-1) соответствует весовой функции системы в (5.2-18). Точно так же соответствуют корреляционной функции и взаимно-корреляционной функции В дальнейшем мы встретимся с интегральными уравнениями, содержащими функции, более сложные по сравнению с корреляционной и взаимно-корреляционной функциями. По этой причине в (5.4-1) вводится менее специфическая система обозначений, чем примененная в (5.2-18). Формула для преобразования Фурье функции устанавливаемая в настоящем параграфе, представляет собой общее точное решение, применимое ко всем интегральным уравнениям типа Винера — Хопфа.

Прежде чем перейти к подробному решению уравнения (5.4-1), необходимо сделать несколько замечаний о применяемом методе решения. Если бы левая часть (5.4-1) была равна нулю для всех значений х, мы имели бы уравнение, известное как «интегральное уравнение первого рода», которое можно решить с помощью преобразования Фурье при условии, что функции все имеют преобразования Фурье. Однако с уравнением (5.4-1) нельзя справиться столь легко, поскольку его левая часть равна нулю только при Преобразование Фурье левой части приводит к функции частоты, которая не равна нулю, как это было бы для интегрального уравнения первого рода. Чтобы преодолеть это затруднение, желательно превратить интегральное уравнение в форме Винера — Хопфа в интегральное уравнение первого рода путем выполнения некоторых предварительных операций во временной области, предшествующих преобразованию Фурье. Вначале мы выполним необходимые предварительные операции над уравнением Винера-—Хопфа во временной области. Далее напомним некоторые факты, относящиеся к прямому и обратному преобразованиям Фурье. В заключение мы преобразуем модифицированное уравнение Винера — Хопфа, чтобы получить точную формулу искомого решения.

На первом этапе операций во временной области представим в виде свертки пары функций, обозначаемых как

При этом по определению, равно нулю при и может иметь ненулевые значения только при Подобным же образом по определению, равно нулю при и может иметь ненулевые значения только при Таким образом, мы имеем соотношения вида

Соотношение (5.4-2) можно понимать как реакцию физической системы с весовой фхнкцией на которую воздействует входная функция обусловливающая эту реакцию системы . В силу определений очевидно, что в (5.4-2) может иметь ненулевые значения как при положительных, так и при отрицательных Функция будет, вообще говоря, четной, поскольку интегральное уравнение (5.4-1) является результатом минимизации функционалов, аналогичных среднему квадрату ошибки, заданному соотношением (5.2-11). Для получения интегрального уравнения типа Винера — Хопфа при минимизации функционалов, сходных с функционалом (5.2-11), существенно необходимо, чтобы была четной функцией. Введение вспомогательных функций вместо заданной функции приводит, как будет показано позже, к разложению на множители преобразования По этой причине процесс решения интегрального уравнения типа Винера — Хопфа часто называют «разложением спектра на множители». Данный прямой способ решения уравнения Винера — Хопфа был разработан самим Винером.

Способом, подобным примененному к функции представим теперь в виде свертки двух вспомогательных функций: Таким образом,

Необходимо иметь в виду, что отличие от может иметь ненулевое значение во всей области изменения

Мы можем теперь с помощью определенных выше вспомогательных функций переписать (5.4-1), подставив вместо левую часть

(5.4-2) и вместо левую часть (5.4-5). Выполнив это, получаем

Изменение порядка интегрирования с тем, чтобы интегрирование по производилось в последнюю очередь, позволяет нам записать (5.4-6) в виде

Поскольку в общем случае отлично от нуля при равном или меньшем нуля, то заключенный в скобки множитель в выражении (5.4-7) должен быть равен нулю при х, большем или равном нулю, и меньшем или равном нулю. Это означает, что

Поскольку это равенство имеет силу при

мы можем заменить на и записать 00

По форме это уравнение кажется идентичным с исходным уравнением Винера — Хопфа (5.4-1). Однако первый член в левой части (5.4-10) равен нулю при так как, по определению, равно нулю при отрицательном времени, а являющаяся физически реализуемой весовой функцией, также равна нулю при отрицательном времени. Таким образом, левая часть (5.4-10) может быть отлична от нуля при отрицательном времени только за счет второго члена , тогда как левая часть (5.4-1) могла быть отличной от нуля при из-за обоих членов. Разделим теперь на две компоненты: которые равны в сумме и

определены так: равна нулю при отрицательном, а при положительном времени. В символах имеем

Так как левая часть (5.4-10) отлична от нуля при отрицательном времени только за счет то можно написать

Это уравнение имеет силу во всей области времени и потому является обычным интегральным уравнением первого рода. Мы имеем, таким образом, подходящую для наших целей модификацию уравнения Винера — Хопфа, поскольку эта модификация позволяет перейти в частотную область.

Прежде чем сделать это, напомним некоторые факты, относящиеся к прямому и обратному преобразованиям Фурье. По определению прямого преобразования Фурье

В соответствии с этим определением обратное преобразование Фурье дается формулой

Прямое преобразование функции времени, равной нулю при отрицательных значениях времени, будет иметь все полюсы расположенными в левой полуплоскости . С другой стороны, функция времени, равная нулю при положительных значениях времени, будет иметь преобразование Фурье с полюсами, заключенными в правой полуплоскости Функция времени, отличная от нуля при всех значениях времени, преобразуется в функцию, имеющую полюсы по обе стороны от мнимой оси. Эти относящиеся к преобразованиям Фурье факты легко оценить при вычислении обратного преобразования методом контурных интегралов. Более подробная информация по этому вопросу приведена в приложении I. Что касается обозначений, то отклонение от принятого обычая обозначать функции времени строчными буквами, а их преобразования — прописными будет иногда необходимо. В любом случае аргумент функции или контекст всегда будут пояснять, какой смысл имеет тот или иной символ.

Перейдем теперь к решению уравнения (5.4-14). Преобразуя оба члена этого уравнения, находим

Из этого уравнения получаем

что является точным решением для преобразования весовой функции входящей в уравнение (5.4.14), и следовательно, точным решением (5.4-1). Однако, прежде чем это решение использовать, необходимо показать, как получаются функции Преобразуя обе стороны (5.4-2), получаем

В силу соотношения (5.4-3), определяющего равным нулю при мы знаем, что должно иметь все полюсы расположенные в левой полуплоскости, и не должно иметь полюсов расположенных в правой полуплоскости. Поскольку стоит в знаменателе правой части (5.4-18), то, как мы знаем, оно не может иметь нулей в правой полуплоскости, ибо соответствует весовой функции физически осуществимой системы. Таким образом, мы можем дать следующее определение:

Из этого определения и из (5.4-19) видно, что может быть определено соотношением

и, следовательно, включает в себя все полюсы и нули в Определениям при помощи (5.4-20) и (5-4.21), соответственно, мы должны отдать предпочтение перед определениями их как преобразований заданных в (5.4-2), (5.4-3) и (5.4-4). Определения для преобразований являются, очевидно, следствиями определений временных функций. Мы должны выбрать определения преобразований именно данным способом, чтобы тем самым ускорить решение практических задач. Когда интегральное уравнение должно быть решено в частотной области, то желательно избежать возвращения во временную область с целью обосновать соответствие частотной функции с ее оригиналом, как это было бы необходимо при определении только как преобразования

Покажем теперь, что можно просто выразить через Преобразование (5.4-5) дает

Таким образом, задается соотношением

— соотношением

Значение, которое должно быть приписано символу, появившемуся в правой части (5.4-24), очевидно из рассмотрения выражений (5.4-11), (5.4-12) и (5.4-13), определяющих Мы знаем, что ввиду равенства нулю при его преобразование может иметь полюсы только в левой полуплоскости. Подобным же образом обладает полюсами только в правой полуплоскости. Далее, ввиду равенства сумме как это следует из (5.4-11), заключаем, что должно обладать всеми полюсами лежащими в левой полуплоскости. Следовательно, правую часть (5.4-24) можно определить так:

Если отношение — рациональная функция, то получение выражения

совершенно ясно из его определения. Все, что мы должны теперь сделать, это выразить отношение суммой отдельных дробей и отбросить все члены, содержащие полюсы в правой полуплоскости. Если же отношение не рационально, то можно воспользоваться уравнением

где

Последнее соотношение соответствует выполнению обратного преобразования Фурье над Для получения функции времени имеющей ненулевое значение как положительном, так и при отрицательном времени. Посредством преобразования Лапласа мы получаем преобразование Фурье функции времени, совпадающей с при положительных и равной нулю при отрицательных Это и есть преобразование идентичное

Можно переписать точную формулу искомого решения в терминах предыдущих определений

Это и есть точная формула решения интегрального уравнения Винера—Хопфа Ниже мы найдем возможность применить эту точную формулу к некоторым интегральным уравнениям типа Винера—Хопфа, если только преобразуемы по Фурье. Мы не сможем применять точную формулу во всех случаях, даже если функции Г и имеют преобразования, так как эти функции могут быть настолько сложными, что проще окажется найти приближенное решение во временной области.