ГЛАВА 8. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ПРОПУСКАНИЯ

§ 8.1. Важность минимизации полосы

В этой главе вначале будет рассмотрена взаимосвязь между полосой пропускания, качеством системы, проектированием системы и затратами на ее изготовление. После уяснения важности минимизации полосы мы определим полосу так, чтобы свести задачу о ее минимуме к задаче о минимуме среднего квадрата сигнала на выходе системы при условии, что на входе имеется шум. Требования к качеству системы для входного сигнала с нормальным распределением вводятся в задачу в виде ограничений, связанных с минимизацией. Применяя вариационные методы, получаем интегральное уравнение, решение которого дает весовую функцию оптимальной системы, имеющей минимальную полосу пропускания и заданные требования к качеству. Для иллюстрации применения метода приводятся три примера.

Методы расчета систем, рассмотренные в предыдущих главах, основываются на использовании среднего квадрата ошибки как показателя качества при случайных сигналах и интегральной квадратичной ошибки при регулярных входных сигналах. Системы, полученные на основании одного из этих критериев, в особенности критерия интегральной квадратичной ошибки, часто имеют широкую полосу пропускания. Здесь полоса понимается как диапазон частот, в котором выходной сигнал приблизительно совпадает с желаемым сигналом на выходе

Исследуя вопрос о ширине полосы с различных точек зрения, мы рассмотрим, например, следящую систему положения, в которой желаемый сигнал на выходе совпадает с входным. Если охарактеризовать случайный входной сигнал функцией спектральной плотности, или плотностью энергии, когда сигнал регулярный, то для того, чтобы ошибка была мала, система должна передавать амплитуды и фазы всех частотных составляющих входного сигнала с пренебрежимо малыми искажениями. Если входной сигнал периодический, то

его спектр состоит из дискретных частот, значения которых кратны основной частоте. Если же входной сигнал не периодический, то его спектр непрерывен и содержит все частоты. Следовательно, чтобы ошибка была равна нулю, система должна иметь бесконечную ширину полосы пропускания. Обычно имеет место компромиссное решение, при котором интегральная квадратичная ошибка или средний квадрат ошибки имеют конечное значение, что в свою очередь смягчает требования к ширине полосы пропускания; полоса пропускания становится уже конечной. Но даже при таком компромиссном решении построение реальной системы из существующих элементов может оказаться весьма сложной задачей. Трудности, возникающие в практических случаях, непосредственно связаны с получением достаточно широкой полосы пропускания системы.

Рассмотрим некоторые свойства системы, которые тесно связаны с полосой пропускания. Прежде всего, сужение полосы пропускания приводит к уменьшению шума на выходе системы, в то время как широкая полоса пропускания приводит не только к увеличению шума на выходе, но также к нежелаемому насыщению в системе благодаря увеличению уровня сигнала.

Сужение полосы пропускания облегчает также условия работы отдельных звеньев при высоком уровне мощности, так как потребная мощность в общем случае возрастает вместе с расширением полосы пропускания.

Если рассмотреть, например, следящую систему положения, состоящую из двигателя с чисто инерционной нагрузкой, то выходная мощность будет пропорциональна произведению момента двигателя на скорость. Так как момент двигателя пропорционален ускорению нагрузки, то выходная мощность оказывается пропорциональной произведению ускорения на скорость нагрузки. Для синусоидального сигнала частоты на выходе, пиковое значение мощности, необходимой для движения нагрузки, пропорционально Для входных сигналов, состоящих из ряда частот, распространение этого результата показывает, что пиковое значение мощности на выходе часто определяется высокими частотами. Системы с узкой полосой пропускания в этих условиях требуют меньшую пиковую выходную мощность, чем системы с широкой полосой пропускания.

Сужение полосы пропускания в общем случае упрощает необходимую коррекцию. В системах с узкой полосой пропускания высокочастотные составляющие имеют весьма малое влияние на переходный процесс и обычно ими можно пренебречь. При этом можно использовать приближенное выражение передаточной функции системы.

Однако для систем с широкой полосой пропускания влияние высокочастотных составляющих на переходный процесс становится существенным и его необходимо учитывать. Компенсация позволяет заменить сложные характеристики заданных элементов такими

характеристиками, которые необходимы для получения заданного качества системы.

Таким образом, более сложная аппроксимация заданных элементов приводит к более сложному компенсирующему звену. Коррекция для системы с широкой полосой пропускания может оказаться с экономической точки зрения более дорогой, а с конструктивной — трудно реализуемой.

В механических системах упругость и люфт в передачах и податливость в опорах могут стать дополнительными источниками беспокойства, если полоса пропускания велика. Преодоление этих трудностей может оказаться дорогим и весьма сложным делом. Поэтому с экономической точки зрения желательно стоимость системы сделать минимальной, накладывая ограничения на показатели качества. К сожалению, такую задачу очень трудно сформулировать в виде, пригодном для аналитического расчета. Однако из предыдущих рассуждений ясно, что стоимость системы и ширина ее полосы пропускания тесно связаны. Минимизируя полосу пропускания, мы в первом приближении получаем обычно и минимальную стоимость системы. Следовательно, чтобы избежать трудностей, связанных с широкой полосой пропускания и незаметных при обычной методике расчета систем, желательно уделить особое внимание минимизации полосы пропускания. Рассмотрению подобных методов расчета и посвящена в основном эта глава.