5. Обратное преобразование Фурье

Процесс получения обратного преобразования заключается в вычислении интегралов, определяемых соотношениями (1.2-5). Напомним здесь эти соотношения:

при обратном преобразовании Фурье;

при обратном преобразовании Лапласа.

В этих соотношениях интегрирование выполняется по всей бесконечной длине мнимой оси в случае преобразования Фурье и по бесконечной линии, параллельной мнимой оси и смещенной так, что

все особенности лежат слева от этой линии, в случае преобразования Лапласа. Вычисление этих интегралов можно упростить, если применить теорему Коши о вычетах. Задача состоит в том, чтобы представить интеграл вдоль всей бесконечной мнимой оси в виде разности между интегралом по замкнутому пути, включающему как мнимую ось, так и дугу полуокружности бесконечного радиуса, и интегралом по полуокружности бесконечного радиуса.

Рис. 1.5-1. Контуры, применяемые при вычислении обратного преобразования Фурье: а) для для (см. скан)

Можно показать, что при определенных ограничениях, наложенных на и интеграл на бесконечной полуокружности исчезает и, следовательно, значение интеграла вдоль мнимой оси определяется непосредственно из теоремы о вычетах для замкнутого контура.

Рассмотрим сначала обратное преобразование Фурье. Заметим, что бесконечная полуокружность может быть взята либо в правой

либо в левой полуплоскости. Особенности преобразования Фурье могут в общем случае лежать как в правой, так и в левой полуплоскости. Можно показать, что интеграл по контуру, охватывающему левую полуплоскость, определяет при а интеграл по контуру, охватывающему правую полуплоскость, определяет соответственно при . Оба контура показаны на рис. 1.5-1.

Рассмотрим сначала представление интеграла, показанное на рис. 1.5-1,а. Значение интеграла по бесконечной полуокружности, охватывающей правую полуплоскость, вычисляется следующим образом. Его абсолютное значение удовлетворяет неравенству

Предположим теперь, что полуокружность имеет конечный радиус Тогда вдоль контура имеем

Следовательно,

и

Предположим также, что

Подставляя это выражение в (1.5-1), приходим к результату

В интервале от до положителен, и следовательно, при значение интеграла в правой части (1.5-6) при становится бесконечным, и решения не существует. Однако интеграл может иметь конечную величину, если мы ограничим только отрицательными значениями. Чтобы оценить этот интеграл через элементарные функции, аппроксимируем экспоненту так, чтобы оставалось в силе неравенство (1.5-6)

Подставляя это выражение в 1.5-6, получим

Перейдем теперь к бесконечному пределу по тогда

Ясно, что решением этого неравенства должно быть нулевое значение интеграла по бесконечной полуокружности. Это можно выразить так:

если ведет себя при больших по крайней мере как Поэтому решение уравнения (1.2-5) дается непосредственным применением теоремы Коши о вычетах к замкнутому контуру, показанному на рис. 1.5-1,а. Теорема Коши о вычетах устанавливает: «Если С является границей односвязной области, внутри которой и на ее границе аналитична, исключая конечное число полюсов, то значение равно произведению на сумму вычетов в

люсах лежащих внутри области С».

Остается только вычислить вычеты в каждом из полюсов функции лежащих внутри замкнутого контура. Различным методам вычисления вычетов в полюсах предпочитается, ввиду его простоты и совершенства, следующий. Вычет в полюсе порядка функции равен

Коротко говоря, обратное преобразование Фурье, определяемое соотношением (1.1-2), может быть вычислено так:

где суммирование производится по вычетам во всех полюсах правой полуплоскости. Отрицательный знак в (1.5-12) появляется вследствие того, что интегрирование по замкнутому контуру производится в направлении, противоположном тому, которое ведет к увеличению положительного угла, и что предыдущая формулировка теоремы Коши о вычетах предполагает направление интегрирования соответствующим увеличению положительного угла.

Подобным же образом значение при можно вычислить, рассматривая контур, полностью охватывающий левую полуплоскость

(рис. 1.5-1,6). Обратное преобразование Фурье при этом дается формулой

где суммирование производится по вычетам во всех полюсах левой полуплоскости.

Пусть, например, требуется определить обратное преобразование Фурье для функции

Чтобы определить при исследуем полюсы лежащие в правой полуплоскости. Полюс второго порядка в точке является единственным полюсом в ППП.

Рис. 1.5-2. Функция в примере.

Воспользовавшись соотношением при имеем

Следовательно,

Чтобы вычислить при примем в расчет полюс первого порядка в ЛПП в точке и воспользуемся соотношением (1.5-13) при Отсюда непосредственно следует

График функции заданной соотношениями (1.5-15), (1.5-16), показан на рис. 1.5-2. Этим завершается обсуждение преобразования Фурье и его обращения.