6. Обратное преобразование Лапласа

Для вычисления обратного преобразования Лапласа напомним соотношение (1.2-5)

Интегрирование здесь выполняется вдоль линии параллельной мнимой оси и смещенной так, что все особенности лежат с левой стороны от нее.

Рис. 1.6-1. Контуры, применяемые при вычислении обратного преобразования Лапласа для

С помощью приема, подобного тому, который использовался для обратного преобразования Фурье, интеграл (1.2-5) представляется суммой интеграла по замкнутому контуру и трех интегралов по линиям, как показано на рис. 1.6-1,

Если поведение при очень больших таково, что

и если положительно, можно показать, как и для преобразования Фурье, что значение интеграла вдоль линии -замыкающей окружности большого радиуса — стремится к нулю, когда радиус становится бесконечно большим. Остается показать, что интегралы

по сегментам стремятся к нулю при бесконечном радиусе. Рассмотрим сначала интеграл вдоль заданный формулой

в которой примененные символы определены согласно рис. 1.6-2. Прежде всего следует, что

Рис. 1.6-2. Геометрия отдельного контура

Пусть, кроме того,

и на наложено ограничение

Тогда

Подставив эти значения в (1.6-4), приходим к результату

Поскольку 6 лежит в интервале положительно, то мы усилим неравенство, заменив экспоненциальный множитель под интегралом выражением

При очень больших значениях дается приближенным соотношением

Подставив соотношения (1.6-11) и (1.6-12) в (1.6-10) и производя интегрирование, получаем

В этом выражении с и с необходим мостью конечны и, следовательно, переход к пределу по приводит к результату

Рис. 1.6-3. График функции

Следовательно, подобным же образом можно показать, что должен быть равен нулю и интеграл на участке Следовательно, обратное преобразование Лапласа можно вычислить непосредственно по вычетам в полюсах в конечной части -плоскости

В качестве примера использования этого выражения возьмем и будем считать его преобразованием Лапласа

Мы хотим найти оригинал. Вначале определяются вычеты в полюсах а и

Тогда функция будет иметь следующий вид:

График этой функции показан на рис. 1.6-3 и, как это видно, значительно отличается от функции, полученной в соответствии с (1.6-16),

когда (1.6-16) полагалось преобразованием Фурье. Согласно приведенным результатам, а также свойству единственности преобразований, можно заключить, что если преобразование имеет полюсы как в левой, так и в правой полуплоскости, то обратные преобразования Фурье и Лапласа будут с необходимостью различными. Однако если полюсы преобразования лежат только в левой полуплоскости, то обратные преобразования Фурье и Лапласа идентичны.