§ 3.3. Корреляционные функции; методы определения

В дальнейшем мы увидим, что функции плотности вероятности стохастического сигнала обычно непосредственно не выступают в анализе. В большей мере мы будем использовать функции, тесно связанные с двумерной функцией плотности вероятности. Эти функции называются корреляционными функциями.

Корреляционная функция определяется в общем как среднее по ансамблю от произведения сигнала в заданный момент времени на величину того же сигнала в момент времени, сдвинутый на единиц от заданного. Обозначая корреляционную функцию имеем

Здесь — заданный момент времени, при котором производится усреднение по ансамблю. Среднее по ансамблю произведение можно найти способом, аналогичным (3.2-5) для средней величины функции. Так как мы интересуемся произведением функций в два различных момента времени: и то появится двумерная плотность вероятности. Таким образом, для определения корреляционной функции мы имеем формулу

Если сигнал, которым мы интересуемся, является стационарным, то корреляционная функция упростится, так как она станет независимой от времени, при котором производится усреднение произведения по ансамблю. В этом случае корреляционная функция зависит только от разности моментов времени т. е. от параметра сдвига т. Более того, пользуясь эргодической гипотезой, мы можем подсчитать корреляционную функцию путем усреднения по времени, что предпочтительнее, чем усреднение по ансамблю:

Эквивалентное выражение для этого временного усреднения:

Функция взаимной корреляции пары сигналов аналогична корреляционной функции одного сигнала. Обычно взаимно-корреляционная функция определяется как среднее по ансамблю от произведения первого сигнала при фиксированном времени на значение второго

сигнала в момент времени, сдвинутый на х единиц. Символически это записывается так:

Усреднение по ансамблю эквивалентно операции

где двумерная плотность вероятности, умноженная на элементарную область есть вероятность расположения в момент между и к в момент между Необходимо заметить, что двумерная плотность вероятности, для взаимнокорреляционных функций связана с ансамблем пар осциллограмм. Один механизм, производящий одну из пар осциллограмм, генерирует оба сигнала одновременно. Произведение, подлежащее усреднению по ансамблю, всегда является произведением пар сигналов, генерированных отдельными механизмами. Вполне возможно, что механизм содержит два независимых источника сигналов . В этом случае двумерная функция плотности вероятности в уравнении (3.3-6) является просто произведением отдельных одномерных плотностей вероятности. Если сигнал стационарен, то выражениями для взаимно-корреляционных функций, аналогичными уравнениям (3.3-3) и (3.3-5), являются

Полезно отметить некоторые свойства корреляционных функций в стационарном случае. Заметим, что изменение знака х в уравнении не меняет средней величины произведения, следовательно, корреляционная функция является четной функцией параметра сдвига

Другое важное свойство корреляционной функции в стационарном случае может быть получено из очевидного неравенства

Это неравенство эквивалентно неравгнству

Усреднив по времени обе части неравенства и разделив результат на 2, получаем

Известно, что является положительной величиной. Если положительно, то отрицательный знак в уравнении (3.3-12) показывает, что не может быть больше, чем . С другой стороны, если отрицательно, то положительный знак в уравнении (3.3-12) говорит о том, что модуль не может превышать . Отсюда мы имеем соотношение

Взаимно-корреляционная функция стационарных сигналов имеет некоторые общие свойства, сходные со свойствами корреляционной функции. В соответствии с уравнением (3.3-7) отметим, что

т. е. взаимно-корреляционная функция не является четной. Другое свойство взаимно-корреляционной функции заключается в том, что ее абсолютная величина всегда меньше или равна среднеквадратичному из произведения значений корреляционных функций отдельных сигналов, взятых при нулевом значении аргумента

Это свойство вытекает из очевидного неравенства

Обсуждение общих свойств корреляционных функций мы заключим рассмотрением их асимптотического поведения при больших т. Если пара стохастических сигналов не содержит взаимно-корреляционных периодических компонент, то отметим, что при

если сигналы для больших х статистически независимы. Это условие почти очевидно для стохастических сигналов. Другими словами, если двумерная плотность вероятности стремится к произведению одномерных плотностей вероятности для больших х, то взаимнокорреляционная функция стремится к произведению средних величин сигналов, взятых в моменты и соответственно. Для стационарных сигналов корреляционная функция, при стремлении х к бесконечности, стремится к квадрату средней величины сигнала.

Стохастический сигнал может содержать периодическую компоненту. Предположим, например, что

где — стационарный стохастический сигнал (без периодической компоненты). Тогда корреляционная функция такого сигнала будет

Это выражение сводится к следующему:

При стремлении к бесконечности, стремится к постоянной То обстоятельство, что в стохастическом сигнале присутствует синусоидальная компонента, может быть установлено путем наблюдения корреляционной функции при больших значениях параметра сдвига. Если такая компонента присутствует, то при стремлении к бесконечности корреляционная функция будет осциллировать в большей мере по сравнению со случаем стремления к постоянной величине. Эти соображения можно распространить на любые периодические компоненты и на взаимно-корреляционные функции.

Мы привели несколько выражений для корреляционных функций и обсудили некоторые их свойства. Эта информация полезна при определении корреляционных функций из теоретических соображений. Теперь возникает вопрос: как рассчитать корреляционные функции, если в нашем распоряжении имеются экспериментальные данные? До сих пор большинство экспериментальных фактов, с которыми имела дело корреляционная техника, относились к стационарным сигналам. Поэтому приведем здесь вычисления корреляционных функций по экспериментальным данным для стационарных процессов. Процедура, которая должна применяться к нестационарным случайным процессам, станет очевидной из обсуждения стационарного случая и определения корреляционных функций усреднением по ансамблю. Следует заметить, что количество экспериментальных данных, требующихся для рассмотрения нестационарной задачи, намного больше в сравнении со стационарной задачей.

Ниже приведен приближенный числовой расчет корреляционных функций. Сначала для пары осциллограмм сигналов решается вопрос о длине записи, необходимой для расчета корреляционной функции на основе временного усреднения. Разобьем эту длину на равных интервалов длиной Составим дискретные приближения каждой

функции из их значений на границах интервалов в соответствии с уравнениями

Пусть во втором уравнении

где — целое число. Длина интервала устанавливается на основе того, что на протяжении этого интервала изменения и или будут малыми. Из приближенных выражений для сигналов следует, что взаимно-корреляционная функция может быть представлена так:

Очевидно, что все произведения при являются нулями. Поэтому двойное суммирование переходит в простое суммирование.

Другая процедура расчета корреляционных функций заключается в использовании аналогового вычислительного устройства специального вида. Схема такого вычислительного устройства показана на рис. 3.3-1. Передвигаясь вниз, осциллограмма с графиками двух коррелированных сигналов вызывает отслеживание сигналов парой соответственно расположенных игл. Игла, отслеживающая сигнал меняет положение диска интегратора 1 так, что для малых перемещений осциллограммы поворот диска соответствует Игла, которая отслеживает сигнал и сдвинута на единиц так, что ее движение воспроизводит и Это движение вызывает такое вращение диска интегратора 2, что его поворот для малых перемещений осциллограммы соответствует произведению Счетчик, связанный с диском интегратора 1, будет запоминать интеграл от Счетчик, связанный с диском интегратора 2, будет запоминать интеграл от Значение функции корреляции с точностью до коэффициента пропорциональности получается делением показания второго счетчика на длину осциллограммы.

Описанное вычислительное устройство может быть использовано для расчета корреляционных функций по экспериментальным данным. Его недостаток в том, что требуется последовательный ввод данных и что последовательность операций должна повторяться для каждого при котором ищется корреляционная функция. Очевидно, возможны усовершенствования. Например, данные о сигнале могут быть

записаны на магнитную ленту, связанную с позиционным сервомеханизмом. Используя записи на ленте, сервомеханизм задает положение дисков интеграторов. Этим путем можно избежать отслеживания сигналов вручную.

Рис. 3.3-1. Аналоговый метод вычисления корреляционных функций. (см. скан)

Однако, имея цифровые счетные машины, лаборатория следящих систем Массачузетского технологического института предпочитает метод, использующий цифровые, а не аналоговые средства.