§ 19. Биномиальный ряд

1. Разложим в рад Маклорена функцию

где — произвольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности и потому к разложению данной функции мы подойдем несколько иначе.

Заметив, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

я условию

найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению (1) и условию

Подставляя его в уравнение (1), получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в разных частях равенства, находим

Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражения:

Это — биномиальные коэффициенты.

Подставляя их в формулу (2), получим

Если — целое положительное число, то, начиная с члена, содержащего все коэффициенты равны нулю, и ряд превращается в многочлен. При дробном или при целом отрицательном имеем бесконечный ряд. Определим радиус сходимости ряда (3):

Таким образом, ряд (3) сходится при

В интервале ряд (3) представляет функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) и условию

Так как дифференциальному уравнению (1) и условию удовлетворяет единственная функция, то, следовательно, сумма ряда (3) тождественно равна функции и мы получаем разложение

В частнорти, при получаем

При будет

При имеем

2. Применим разложение бинома к разложению других функций. Разложим в ряд Маклорена функцию

Подставляя в равенство (6) вместо выражение получим

На основании теоремы об интегрировании степенных рядов получаем при

Этот ряд сходится в интервале Можно было бы доказать, что ряд сходится и для и что для этих значений сумма ряда также равна Тогда, полагая мы получим формулу для вычисления х: