§ 99°. Потенциальная энергия сил всемирного тяготения. Космические скорости

В связи с рядом особенностей, а также ввиду особой важности вопрос о потенциальной энергии сил всемирного тяготения необходимо рассмотреть отдельно и более детально.

С первой особенностью мы сталкиваемся при выборе начала отсчета потенциальных энергий. На практике приходится рассчитывать движения данного (пробного) тела под действием сил всемирного тяготения, создаваемых другими телами разных масс и размеров.

Допустим, что мы условились считать равной нулю потенциальную энергию при таком положении, при котором тела соприкасаются. Пусть пробное тело А при взаимодействии по отдельности с шарами одинаковой массы, но разных радиусов, вначале удалено от центров шаров на одно и то же расстояние (рис. 5.28). Нетрудно видеть, что при движении тела А до соприкосновения с поверхностями тел силы тяготения совершат разную работу. Это значит, что мы должны при одинаковых относительных начальных расположениях тел считать потенциальные энергии систем различными.

Сопоставлять эти энергии между собой будет особо затруднительно в случаях, когда рассматриваются взаимодействия и движения трех или большего количества тел. Поэтому для сил всемирного тяготения ищется такой начальный уровень отсчета потенциальных энергий, который бы мог быть одинаковым, общим, для всех тел во Вселенной. Таким общим нулевым уровнем потенциальной энергии сил всемирного тяготения условились считать уровень, соответствующий расположению тел на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Как видно из закона всемирного тяготения, на бесконечности обращаются в нуль и сами силы всемирного тяготения.

При таком выборе начала отсчета энергий создается непривычное положение с определением значений потенциальных энергий и проведением всех расчетов.

В случаях сил тяжести (рис. 5.29, а) и упругости (рис. 5.29, б) внутренние силы системы стремятся привести тела на нулевой уровень. При приближении тел к нулевому уровню потенциальная энергия системы уменьшается. Нулевому уровню действительно соответствует наименьшая потенциальная энергия системы.

Рис. 5.11.

Рис. 5.29.

Рис. 5.30.

Это означает, что при всех других положениях тел потенциальная энергия системы положительна.

В случае сил всемирного тяготения и при выборе нуля энергии на бесконечности все происходит наоборот. Внутренние силы системы стремятся увести тела от нулевого уровня (рис. 5.30). Они совершают положительную работу при удалении тел от нулевого уровня, т. е. при сближении тел. При любых конечных расстояниях между телами потенциальная энергия системы меньше, чем при Другими словами, нулевому уровню (при соответствует наибольшая потенциальная энергия. Это означает, что при всех других положениях тел потенциальная энергия системы отрицательна.

В § 96 было найдено, что работа сил всемирного тяготения при переносе тела из бесконечности на расстояние равна

Поэтому потенциальную энергию сил всемирного тяготения нужно считать равной

Эта формула выражает еще одну особенность потенциальной энергии сил всемирного тяготения — сравнительно сложный характер зависимости этой энергии от расстояния между телами.

На рис. 5.31 представлен график зависимости от для случая притяжения тел Землей. Этот график имеет вид равнобочной гиперболы. Вблизи поверхности Земли энергия меняется сравнительно сильно, но уже на расстоянии нескольких десятков земных радиусов энергия становится близкой к нулю и начинает меняться очень медленно.

Рис. 5.31.

Любое тело вблизи поверхности Земли находится в своеобразной «потенциальной яме». Всякий раз, когда оказывается необходимым освободить тело от действия сил земного притяжения, нужно прилагать специальные усилия для того, чтобы «вытащить» тело из этой потенциальной ямы.

Точно так же и все другие небесные тела создают вокруг себя такие потенциальные ямы — ловушки, которые захватывают и удерживают все не очень быстро движущиеся тела.

Знание характера зависимости от позволяет значительно упростить решение ряда важных практических задач. Например, необходимо послать космический корабль на Марс, Венеру или на любую другую планету Солнечной системы. Нужно определить, какая скорость должна быть сообщена кораблю при его запуске с поверхности Земли.

Для того чтобы корабль послать к другим планетам, его нужно вывести из сферы действия сил земного притяжения. Другими словами, нужно поднять его потенциальную энергию до нуля. Это становится возможным, если кораблю сообщить такую кинетическую энергию, чтобы он смог совершить работу против сил земного притяжения, равную где масса корабля,

масса и радиус земного шара.

Из второго закона Ньютона следует, что (§ 92)

Но так как скорость корабля до запуска равна нулю, то можно записать просто:

где скорость, сообщаемая кораблю при запуске. Подставляя значение для А, получим

или

Воспользуемся для исключения как это уже делали в § 96, двумя выражениями для силы земного притяжения на поверхности Земли:

Отсюда — Подставляя это значение в уравнение второго закона Ньютона, получим

Скорость, необходимая для вывода тела из сферы действия сил земного притяжения, называется второй космической скоростью.

Точно так же можно поставить и решить задачу о посылке корабля к далеким звездам. Для решения такой задачи нужно уже определить условия, при которых корабль будет выведен из сферы действия сил притяжения Солнца. Повторяя все рассуждения, которые были проведены в предыдущей задаче, можно получить такое же выражение для скорости, сообщаемой кораблю при запуске:

Здесь а — нормальное ускорение, которое сообщает Солнце Земле и которое может быть рассчитано по характеру движения Земли по орбите вокруг Солнца; радиус земной орбиты. Конечно, в этом случае означает скорость движения корабля относительно Солнца. Скорость, необходимая для вывода корабля за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью.

Рассмотренный нами способ выбора начала отсчета потенциальной энергии используется и при расчетах электрических взаимодействий тел. Представление о потенциальных ямах также широко используется в современной электронике, теории твердого тела, теории атома и в физике атомного ядра.