§ 20. Порядок действий при решении задач кинематики

Все практические задачи, с которыми вам придется встречаться в дальнейшем, будут относиться к одному из рассмотренных двух типов. При этом наряду с расчетом простейших движений какого-либо одного тела часто будет требоваться решать задачи о встрече тел, о погоне, на расчет движений при переходе из одной системы отсчета в другую и т. д. Для каждой из них, конечно, можно придумать свой особый путь решения. Но для всех этих задач существует и общий путь, который устанавливает общий порядок рассуждений и расшифровки условия задачи.

Рассмотрим этот общий путь на следующем примере.

Два автомобиля одновременно выезжают из городов навстречу друг другу и движутся равномерно по горизонтальной прямой дороге со скоростями (рис. 1.61). Расстояние между городами Определить время и место встречи автомобилей.

Решение задачи можно разбить на ряд последовательных этапов.

Первый этап — качественный анализ всех возможных движений каждого тела, данного в задаче.

При этом анализе должна быть выбрана удобная для решения система отсчета, указаны направления возможных движений тел, форма траекторий и законы этих движений, характер связей между возможными движениями тел, сделан рисунок — схема расположения тел.

Рис. 1.61.

В нашем случае удобно выбрать в качестве системы отсчета Землю. По условиям задачи автомобили движутся прямолинейно и равномерно. Для обоих автомобилей воспользуемся законом движения в форме

Автомобили движутся навстречу друг другу, значит, скорости их будут иметь разные знаки. Автомобили в своем движении независимы друг от друга и выходят из разных пунктов.

Второй этап — определение порядка отсчета времени и длин путей.

При этом указывается начало отсчета времени, начало отсчета длин путей, положительные и отрицательные направления для длин путей и векторов скоростей.

Условимся отсчитывать время от общего для обоих автомобилей момента начала движения. За начало отсчета длин путей выберем

пункт А. Длины путей, откладываемые вправо от А, будем считать положительными. Также положительными будем считать скорости, направленные вправо.

Третий этап — указание начальных состояний движения для каждого тела.

На этом этапе должны быть указаны длины путей до начальных точек движения каждого тела, модули и знаки начальных скоростей, определено время фактического движения каждого тела.

Автомобиль при находился в пункте т. е. в точке начала отсчета длин путей, и, значит, для него Его скорость направлена вправо, она войдет в уравнение закона движения со знаком плюс.

Автомобиль II при находился в пункте В на расстоянии вправо от точки начала отсчета длин путей, и, следовательно, для него Его скорость направлена влево, и поэтому она войдет в уравнение со знаком минус.

Оба автомобиля начали движение одновременно в момент пуска часов. Значит, время их фактического движения будет совпадать с показаниями часов.

Результаты третьего этапа решения могут быть записаны в следующую таблицу:

(см. скан)

Четвертый этап — написание законов движения для каждого из тел.

Законы движения каждого тела должны быть написаны с полным учетом выбранного способа отсчета длин путей, времен и начальных условий. После написания всех уравнений должно быть определено число неизвестных и проверена полнота полученной системы уравнений.

Для нашей задачи уравнения будут иметь вид

Уравнений два, неизвестных три: Следовательно, система неполная, и необходимо отыскать еще одно уравнение.

Пятый этап — отыскание недостающих уравнений.

Эти уравнения могут выражать условия кинематических связей (например, движущиеся тела соединены нерастяжимой нитью), геометрические соотношения или специальные условия, данные в задаче.

Рис. 1.62.

В нашей задаче требуется определить положение автомобилей не вообще для любого момента времени а только для одного момента встречи, т. е. задача содержит специальное условие встречи.

В момент встречи автомобили будут находиться на одинаковом расстоянии от точки начала отсчета длин путей. Следовательно, уравнение, выражающее условие встречи, будет иметь вид

Окончательно полная система уравнений будет иметь вид

Шестой этап — алгебраическое решение полученной системы уравнений и отыскание расчетных формул для определения неизвестных величин.

В нашем случае эти формулы таковы:

Если условие задачи допускает или требует проведения графического решения, то оно также проводится на этом этапе. В нашем случае графики закона движения для обоих автомобилей представлены на рис. 1.62. Время и место встречи автомобилей определяются по положению точки С пересечения графиков.

Седьмой этап — согласование единиц всех величин и арифметический расчет числовых значений неизвестных.

В нашем случае:

Само собой разумеется, что в конце этого этапа в обычном порядке должна быть проведена проверка правильности полученных решений.