§ 90. Работа переменной силы
Допустим, что тело движется по сложной криволинейной траектории (рис. 5.6). Во время движения на него действует сила, изменяющаяся по модулю и по направлению. При этом угол между направлением силы и направлением движения также меняется. Расчет работы силы в этом случае очень усложняется. Применять ранее полученную простую формулу для работы ко всему движению в целом уже нельзя.
Для отыскания способа расчета работы в таких случаях обратим внимание на связь между работой силы и векторами физически малых перемещений тела. В § 11 было показано, что траектория всегда может быть представлена как последовательность векторов физически малых перемещений. А в § 12 было показано, что малые приращения длины пути всегда равны модулю вектора перемещения, взятому с соответствующим знаком: 
Пользуясь этим, разобьем траекторию на последовательные малые перемещения (рис. 5.7).
Рис. 5.6,
Рис. 5.7.
Выберем векторы малых перемещений так, чтобы:
1) каждый вектор 
совпадал с данным участком траектории с нужной нам точностью;
2) силу 
на этом перемещении можно было считать приблизительно постоянной;
3) на этом участке траектории можно было пренебречь изменениями углов а и считать угол а между вектором силы и вектором перемещения постоянным.
При выполнении этих требований работу, совершаемую при каждом малом перемещении, можно рассчитать по такой же формуле, как и для постоянной силы, т. е.
В формулу входят только модули силы и приращения длины пути. Так как 
то эта формула может быть переписана в следующем виде:
Мы нашли зависимость между работой и векторами перемещений тела. Можно сказать, что работа силы при малом перемещении равна произведению модуля силы на модуль вектора перемещения и на косинус угла между этими векторами. Таким образом, оказалось, что для расчета работы силы нужно произвести действие умножения двух векторов. При этом в результате умножения получилась скалярная величина — работа. В математике это действие получило особое название скалярного произведения двух векторов: скалярным произведением двух векторов 
называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Символически скалярное произведение записывается так:
Пользуясь определением скалярного произведения, дадим формальное определение работы силы при малом перемещении: работой силы при малом перемещении называется скалярное произведение вектора силы 
на вектор перемещения 
Умея теперь вычислять работу силы при малом перемещении, можно указать способ вычисления работы в общем случае движения тела по любой криволинейной траектории под действием произвольно меняющейся силы.
Для вычисления работы в этом общем случае необходимо:
1) разбить траекторию на участки, для которых векторы перемещений удовлетворяют перечисленным выше требованиям;
2) вычислить работу силы для каждого такого участка;
3) произвести алгебраическое сложение работ для всех участков, на которые была разбита траектория движения.
Выполнение всех этих операций довольно сложно и в общем случае не может быть сделано средствами математики, которая изучается в средней школе.
Самым важным является то, что определение работы, данное в предыдущем параграфе, оказывается пригодным для любых движений и любых сил. Усложняются только способы математического расчета, которые не изменяют физического смысла понятия работы. Именно это открывает возможность использовать найденное нами понятие работы при изучении любых физических явлений.
