§ 95. Графический способ расчета работы. Работа упругой силы

Нам удалось достаточно просто рассчитать работу постоянной силы — силы тяжести. Когда же сила меняется по модулю и направлению (§ 90), расчет работы значительно усложняется. В этих случаях удобен графический способ расчета.

Еще раз вернемся к задаче о работе силы тяжести. Допустим, что тело массы (рис. 5.15) падает вертикально под действием силы тяжести (направление вниз будем считать положительным). Будем отсчитывать длину пути от точки начала падения. Построим график зависимости силы тяжести от длины пути График будет иметь вид прямой, параллельной оси абсцисс, так как сила тяжести постоянна (рис. 5.16).

Рис. 5.15.

Рис. 5.16.

Рис. 5.17.

Рис. 5.18.

По определению работа, которую совершит сила тяжести на расстоянии равна

Произведение численно равно площади фигуры, показанной на графике. Это позволяет рассчитывать работу по таким графикам и в случае переменных сил.

Для примера проведем графический расчет работы силы упругости.

Пусть на пружине жесткостью подвешен груз массы под действием которого пружина растянута на величину (рис. 5.17). Как было показано в § 63, пружина при этом будет действовать на груз с силой упругости направленной к положению равновесия. Если груз не удерживать, то он начнет двигаться в направлении действия этой силы. Сила упругости при этом будет совершать положительную работу. Во время движения сила упругости постепенно уменьшается, поэтому формулу нельзя применить для расчета работы сразу для всего движения тела.

Построим график зависимости силы упругости от длины пути (рис. 5.18). Допустим, что тело проходит точку, длина пути до которой Выделим около этой точки такое малое расстояние чтобы можно было работу силы упругости на этом расстоянии подсчитать по формуле

Произведение численно равно площади прямоугольника, заштрихованного на рисунке. Расположим так, чтобы ордината, соответствующая точке была средней линией этого прямоугольника. Тогда будет средней линией трапеции, ограниченной отрезком линии графика силы, ординатами точек и отрезком оси Произведение численно равно площади этой трапеции, т. е. и в этом случае работа силы упругости оказалась равной

площади фигуры, ограниченной линией графика силы, ординатами начальной и конечной точек движения и отрезком оси

Используя этот результат, можно рассчитать работу сил упругости для любого конечного движения тела. Пусть тело, отклоненное на расстояние под действием силы упругости возвратилось в положение равновесия. Работа силы упругости в этом случае будет равна площади треугольника, показанного на рис. 5.19, т. е.

Если под действием силы упругости тело перешло из положения в положение (рис. 5.20), то, как видно из рис. 5.21, работа этой силы равна

Наш расчет обнаружил, что работа силы упругости полностью определяется начальным и конечным положениями тела. Можно показать, что эта работа не зависит от формы траектории, по которой двигалось тело под действием пружины. Поэтому сила упругости тоже является консервативной силой. Растягивая пружину, мы совершаем какую-то работу против силы упругости пружины. Если эту пружину затем освободить, то сила упругости вернет ее в нерастянутое состояние. При этом она полностью возвратит всю ту работу, которая была совершена при ее растяжении.

Рис. 5.19.

Рис. 5.20.

Рис. 5.21.