§ 5°. Другой способ определения положения тел. Координаты

Итак, мы убедились, что положение любой точки тела всегда может быть определено с помощью радиус-вектора этой точки. Мы определили также и главное свойство этой величины. Радиус-вектор является одной из важнейших величин, на которых строится общая теория механических движений. Определение особенностей изменения этой величины позволяет проследить за всеми деталями сколь угодно сложных движений.

Однако при проведении конкретных числовых расчетов прямое использование понятия радиус-вектора встречает некоторые затруднения. Это связано с тем, что при таких расчётах необходимо уметь характеризовать числом не только модуль радиус-вектора, но указывать также какими-то числами и направление этого вектора. Поэтому в практических задачах наряду с радиус-вектором используется также другой способ определения положения тел — метод координат.

Рассмотрим несколько примеров такого способа определения положения тел.

С методом координат вы впервые познакомились при изучении географии. В географии, астрономии и при расчетах движений спутников и космических кораблей положение всех тел определяется относительно центра Земли (рис. 1.21).

Для определения положения какой-либо точки тела прежде всего указывается расстояние этой точки до центра Земли О. Это первая координата точки. Нетрудно увидеть, что эта координата прямо указывает модуль радиус-вектора точки Затем через ось вращения Земли проводят две плоскости: одну — проходящую через город Гринвич в Англии, а другую — через данную точку Измеряют угол между этими плоскостями. Это вторая координата точки Она, как известно вам, указывает долготу места расположения точки А. Наконец, проводят экваториальную плоскость и измеряют угол который составляет с экваториальной плоскостью радиус-вектор точки Этот угол будет третьей координатой точки Угол как известно из географии, указывает широту, на которой находится точка

Таким образом, для определения положения какой-то точки А тела в пространстве потребовалось три координаты. Одна из них (расстояние до начала отсчета О) указала модуль радиус-вектора, а две другие и (углы, которые составляет радиус-вектор с заранее выбранными плоскостями — плоскостью нулевого гринвичского меридиана и плоскостью экватора) указали направление радиус-вектора в пространстве. Отметим, что для определения координат тела оказалось необходимым выделить в пространстве одно особое направление — полярную ось Относительно этой оси и указывалось направление радиус-вектора точки тела.

Другой пример. Артиллеристы, определяя положение цели на поверхности Земли, прежде всего каким-либо образом находят

Рис. 1.21.

Рис. 1.22.

расстояние до цели, т. е. модуль радиус-вектора, соединяющего батарею, как начало отсчета, с целью (рис. 1.22). Затем выбирают какой-нибудь ориентир (репер), направление на который считают нулевым. Направление радиус-вектора цели определяется углом который указан на рисунке.

Мы видим, что в том случае, когда нужно определить положение предмета на заранее заданной плоской поверхности, оказывается необходимым задать два числа: одно для указания модуля радиус-вектора и другое для указания его направления.

Точно так же используют два числа при ориентировке на местности с помощью компаса. По карте определяют расстояние до того пункта, куда нужно дойти. Принимают за нулевое — направление с юга на север, которое всегда указывает стрелка компаса. Направление движения определяют по углу (азимуту), который составляет нулевое направление с линией, соединяющей идущего человека с нужным пунктом. Здесь расстояние и угол также будут координатами того пункта, куда хочет попасть человек.

Во всех рассмотренных примерах была использована так называемая полярная система координат. В полярной системе координат через начало отсчета О проводится фиксированная прямая, называемая полярной осью. Допустим, что движущееся тело все время остается на одной и той же плоскости. Тогда положение тела на этой плоскости в полярной системе координат определяется указанием расстояния от точки О (полюса системы) до точки А тела и указанием угла между полярной осью и направлением на точку А (рис. 1.23).

Таким образом, с помощью полярной системы координат полностью определяется радиус-вектор точки координата указывает модуль радиус-вектора, координата направление этого вектора на плоскости. Если оказывается необходимым определить направление радиус-вектора в пространстве, то приходится вводить еще один угол, как это делалось в географии.

Полярная система координат применяется не только при решении различных практических задач, но и широко используется в теоретических расчетах во всех разделах физики.

В учебных задачах, в связи с большей наглядностью, часто используют другую систему координат — декартову систему прямоугольных координат. Определение положения тел в этой системе координат делается примерно так же, как и определение положения предметов в комнате.

В декартовой системе координат с началом отсчета системы О связывают три, неподвижных относительно тела отсчета, направления. Эти три направления называют осями координат и обозначают (рис. 1.24). Плоскости называют координатными плоскостями. Для определения положения любой точки в пространстве из нее опускают перпендикуляры на координатные плоскости. Длины отрезков перпендикуляров, соединяющих точку с плоскостями, называют координатами точки А и обозначают через

Рис. 1.23.

Рис. 1.24.

Рис. 1.25.

Мы видим, что, как и в случае полярной системы координат, здесь таже требуется три числа для определения положения какой-либо точки в пространстве. Для определения положения точки на плоскости достаточно двух координат. На рис. 1.25 показано, как определяются координаты точки х и у при определении ее положения на плоскости.