§ 70. Пример применения закона всемирного тяготения. Первая космическая скорость

Рассчитаем скорость которую должен иметь искусственный спутник для движения по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Для того чтобы спутник мог двигаться по такой орбите со скоростью ему необходимо сообщить нормальное ускорение где радиус орбиты. Если масса спутника то по второму закону Ньютона на него должна действовать сила Единственной такой силой является сила притяжения Земли. Она можетбыть найдена из закона всемирного тяготения где масса Земли. Подставляя это значение силы во второй закон Ньютона, получим уравнение для расчета скорости спутника на орбите:

В полученное выражение для расчета скорости входит гравитационная постоянная у и масса Земли Для того чтобы сделать его более простым, рассмотрим еще раз свободное падение тела у поверхности Земли. Ускорение свободного падения создается силой тяжести

Но эта же сила тяжести по закону всемирного тяготения будет равна

где радиус Земли. Приравнивая оба выражения для силы тяжести, получим:

Это дает нам возможность исключить из формулы скорости спутника произведение и получить для нее более простое выражение:

Радиус Земли ускорение свободного падения Орбиты первых советских спутников, проходивших на высоте около над поверхностью Земли, имели радиус Если подставить эти значения в формулу, то найдем, что спутники должны были иметь скорость

Скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно обращалось вокруг Земли как искусственный спутник, называется первой кос мической скоростью.