§ 11. Как связана траектория движения с векторами перемещения?

Мы ввели два физических понятия — вектор перемещения и траекторию движения тела. Необходимо показать, какая связь существует между ними. Как, зная траекторию тела, можно найти векторы перемещения, соответствующие переходу тела из точки траектории в любую другую точку Как с помощью векторов перемещения можно построить траекторию движения?

Допустим, что тело начало свое движение из точки и двигалось по траектории, показанной на рис. 1.36. Пусть в некоторый момент тело пришло в точку В траектории. Нетрудно увидеть, что вектором перемещения, соответсвующим такому переходу, будет Вектор перемещения всегда расположен по хорде, соединяющей точки траектории, в которых тело находилось в начальный и конечный момент времени.

Заметим, что мы можем рассматривать не всё движение целиком от начала, а выбирать любую его часть. Например, в какой-то момент времени тело было в точке а затем через некоторое (может быть и малое) время перешло в точку траектории

Рис. 1.34.

Рис. 1.35.

Рис. 1.36.

Рис. 1.37.

Вектор перемещения, совершенного за это время, будет равен т. е. опять изобразится хордой, проходящей через соответствующие точки.

Таким образом, по чертежу траектории всегда можно найти векторы перемещения для любых промежутков времени движения тела.

Для ответа на второй вопрос, поставленный в начале параграфа, сначала заметим, что любую кривую линию всегда можно приблизительно (но с любой точностью) изобразить с помощью ломаной линии.

Например, если у правильного многоугольника, вписанного в окружность, неограниченно увеличивать число сторон, то он все более точно будет передавать форму окружности (рис. 1.37).

Рис. 1.38.

Для передачи формы окружности с необходимой точностью нужно лишь взять достаточно большое число сторон этого многоугольника.

Траекторию любого движения также всегда можно изобразить с помощью ломаной линии. При этом надо только отдельные отрезки этой ломаной линии делать достаточно малыми. Например, на рис. 1.38 схематически изображены для какого-то момента времени вагоны железнодорожного состава, движущегося по закруглению. Все вагоны (прямолинейные отрезки) вместе образуют ломаную линию, которая приблизительно передает форму закругления — форму траектории движения поезда в этом месте. Малые отрезки ломаной линии в этом случае могут иметь длину, равную длине вагона.

На рис. 1.39 приведена аналогичная картина движения автомобилей на перекрестке. Здесь хорошо видно, что последовательность отрезков длиной, равной длине автомобиля, также удовлетворительно передает форму траектории движения на этом участке.

Конечно, если заменить ломаной линией траекторию движения карандаша, делающего надпись-, то отдельные отрезки должны будут иметь длину, измеряемую миллиметрами и долями миллиметра. В общем случае длина прямолинейных отрезков, заменяющих криволинейные дуги траектории, должна быть тем меньше, чем больше кривизна траектории.

Итак, траекторию любого движения всегда можно приближенно представить в виде ломаной линии, составленной из малых прямолинейных отрезков. Эти прямолинейные отрезки необходимо выбирать так, чтобы:

1) наибольшие отклонения дуги траектории, стягиваемой выбранным отрезком, от самого отрезка не превышали заранее выбранной малой величины;

Рис. 1.39.

Рис. 1.40.

2) направления касательных; проведенных к разным точкам указанной дуги траектории, очень мало отличались от направления прямолинейного отрезка.

Такие малые отрезки, совпадающие с дугой траектории с заданной точностью, будем называть физически малыми отрезками. Заметим, что направления физически малых отрезков (опять-таки с необходимой точностью) будут совпадать с направлениями касательных к траектории в соответствующих точках (рис. 1.40).

Как было показано выше, каждый физически малый отрезок после указания его направления будет являться не чем иным, как физически малым вектором перемещения. Следовательно, можно утверждать, что траектория движения всегда может быть представлена как последовательность физически малых векторов перемещений.

Направление каждого физически малого вектора перемещения совпадает с направлением касательной к траектории в соответствующей точке.

Таким образом, знание траектории позволяет найти векторы перемещений тела для любых промежутков времени. И наоборот, знание всех последовательных векторов перемещений тела позволяет построить траекторию движения. Найденная нами возможность замены траектории последовательностью малых векторов перемещений имеет очень большое значение и будет неоднократно использоваться в дальнейшем.