§ 86°. Применение второго закона Ньютону к движению тел переменной массы

Теперь, когда мы познакомились с особенностями реактивных сил, можно ответить на вопрос о том, как нужно изменить форму законов Ньютона для того, чтобы их можно было применять к расчету движения тел переменной массы. Какие новые величины нужно ввести в уравнения этих законов?

При рассмотрении движения ракеты в § 84 мы нашли, что ракета получает ускорение и изменяет свое количество движения без участия других тел и что на поведение ракеты влияют два обстоятельства: изменение массы ракеты и особенности отделения от нее частиц. Если присоединение или отделение частиц, изменяющих массу ракеты, происходит с некоторой относительной скоростью и, то возникает реактивная сила, сообщающая ракете ускорение. Следовательно, в общем случае движения тела переменной массы нельзя применять второй закон Ньютона в старых формах.

Для отыскания новых форм закона прежде всего заметим, что при расчете ускорения тела переменной массы имеется в виду только та масса, которая остается после отделения очередной порции частиц. При этом судьбой отделившихся частиц мы не интересуемся. На остающуюся часть тела при отделении частиц действует реактивная сила (§ 84). Поэтому при расчете тангенциальных ускорений тела переменной массы к внешним силам, действующим на тело, всегда нужно добавлять эту силу, т. е. уравнение второго закона Ньютона необходимо записывать в виде

Здесь масса отделяющихся частиц за одну секунду, и — скорость этих частиц относительно тела, изменяющаяся во время движения масса тела, внешняя сила.

При расчете изменений количества движения тела переменной массы мы должны учитывать не только импульсы внешних сил, но и те количества движения, которые уносятся отделяющимися частицами. Для того чтобы правильно учесть эти количества движения, еще раз вернемся к расчетам § 84. Рассматривая ракету и выбрасываемые ею газы как изолированную систему, мы получили уравнение:

Перегруппируем члены этого уравнения:

Обозначим скорость выброшенных газов относительно Земли через Тогда уравнение будет:

Рассмотрим члены этого уравнения: количество движения ракеты после выброса газов; количество движения ракеты до выброса газов; количество движения, унесенное выброшенными частицами. Разность дает полное изменение количества движения ракеты. При этом ясно видно, что это изменение учитывает и изменение скорости, и изменение массы.

Таким образом, из найденного уравнения следует, что изменение количества движения тела переменной массы равно тому количеству движения, которое уносится отделяющимися частицами.

Если рассмотреть изменение количества движения не за одну секунду, а за время то оно будет равно

Допустим теперь, что тело переменной массы подвергается действию внешней силы За время эта сила сообщит телу импульс Но изменение количества движения тела теперь уже не будет равно этому импульсу. К импульсу силы добавятся найденные нами изменения количества движения, созданные изменениями массы тела. Следовательно, уравнение второго закона для прямолинейного движения тела переменной массы должно записываться в виде

где значения массы тела в начале и конце промежутка времени

Итак, окончательно для движения тела переменной массы можно дать следующие две формулировки второго закона Ньютона:

1. Ускорение тела переменной массы пропорционально сумме внешних сил и реактивной силы:

2. Изменение количества движения тела переменной массы равно сумме импульсов внешних сил и количества движения, унесенного

отделяющимися частицами:

Здесь

В определение ускорений вошли реактивные силы, которые зависят от скорости и отделяющихся частиц относительно самого тела.

Изменение количества движения не определяется через импульс реактивных сил, а зависит от количеств движения, унесенных отделившимися частицами. Эти количества движения зависят от скорости частиц относительно Земли.

Записанные так уравнения движения тел переменной массы носят название уравнений Мещерского. Они имеют более широкую область применения, чем уравнения Ньютона. По ним, в частности, производятся все расчеты движения ракет на активных участках полета.

Все же имеются два частных случая, когда движение тела переменной массы можно рассчитывать по таким же уравнениям, как и для тел постоянной массы.

Случай 1. Скорость отделяющихся частиц относительно тела равна нулю: Примером такого движения служит падение капли из облака в жаркий летний день. В летний день, когда влажность воздуха мала, капля во время полета испаряется и масса ее постепенно уменьшается. Испаряющиеся молекулы в момент отделения от капли имеют ту же скорость падения, что и сама капля. Следовательно, скорость отделяющихся частиц относительно капли равна нулю. Создаваемая реактивная сила также равна нулю. В этом случае можно рассчитать ускорение капли по такому же закону, как и для тела с постоянной массой (рис. 4.25):

Конечно, здесь величина переменная, уменьшающаяся с течением времени, сила трения.

Случай 2. Скорость отделяющихся или присоединяющихся частиц относительно Земли равна нулю: Примером такого движения может служить падение капли во время осеннего дождя, когда влажность воздуха высока.

Рис. 4.25

Во время падения на зародыше капли непрерывно конденсируются пары воды из окружающего воздуха. Масса капли постепенно возрастает. Молекулы, присоединяющиеся к капле, перед присоединением не имели никакой регулярной скорости относительно Земли. Значит, в этом случае для присоединяющихся частиц и можно рассчитывать изменение количества движения капли, пользуясь второй формой закона Ньютона для тел постоянной массы:

Отметим, что йельзя рассчитать столь же просто ускорение для такого движения, так как если применять первое уравнение для движения тел переменной массы, то необходимо учесть реактивную силу, создаваемую присоединяющимися молекулами.

Таким образом, учет изменений массы движущегося тела не только привел к усложнению уравнений законов, управляющих движениями тел, но также выявил сложную взаимосвязь между разными формами этих уравнений.

Проведенные нами рассуждения и расчеты позволили установить, что две формы второго закона Ньютона в том виде, как они были написаны для тел постоянной массы, имеют разные области применения.