§ 24. Изменение направления скорости. Нормальное ускорение

Наиболее простой из криволинейных траекторий является окружность. Поэтому для расчета нормального (центростремительного) ускорения рассмотрим случай равномерного движения тела по окружности радиуса Допустим, что модуль скорости в этом движении равен

Для того чтобы определить изменение направления скорости при прохождении телом какой-то точки А на траектории (рис. 1.68), нужно рассмотреть поведение вектора скорости на малом участке траектории около этой точки. Допустим, что в некоторый момент времени до прихода в точку А тело было в точке В и имело скорость показанную на рисунке. В момент после прохождения точки А оно оказалось в точке С и имело скорость Моменты выберем так, чтобы было мало, а точки располагались близко к А (при этом хорда будет параллельна касательной, проведенной через точку

Из рисунка видно, что за время прохождения участка радиус-вектор движущейся точки повернулся на угол и вместе с ним на такой же угол повернулся вектор скорости. Центральный угол опирающийся на дугу равен (в радианах)

Рис. 1.68.

Рис. 1.69.

Так как по условию движение равномерное, то длина дуги и

Для того чтобы увидеть, происходит при повороте вектора скорости, перенесем векторы параллельно самим себе 8 точку А и построим треугольник, показанный на рис. 1.69. Из этого треугольника видно, что для поворота вектора скорости за время оказывается необходимым к вектору добавить некоторый дополнительный вектор Этот добавочный вектор приращения скорости направлен противоположно радиус-вектору и одновременно перпендикулярен вектору скорости которую тело имело в точке А. Следовательно, можно сделать такой вывод: для поворота вектора скорости на малый угол к нему нужно добавить вектор, перпендикулярный к самому вектору скорости и направленный в сторону вогнутости траектории.

Найдем модуль вектора Если угол достаточно мал, то его значение в радианах (см. рис. 1.69) определяется следующим образом:

Сравним это выражение с ранее полученным:

Приравняв правые части этих двух выражений, получаем

Таким образом, мы нашли модуль вектора приращения скорости который нужно добавлять к вектору скорости для изменения его направления.

Мы убедились, что для изменения направления вектора скорости необходимо добавлять к нему вектор Этот вектор приращения скорости должен быть перпендикулярен самому вектору скорости

V и должен иметь модуль

Будет правильным, если мы за количественное выражение нормального ускорения показывающего, как быстро меняется

Рис. 1.70.

Рис. 1.71.

направление скорости в точке А, примем отношение приращения ко времени

Итак: модуль вектора нормального ускорения прямо пропорционален квадрату скорости и обратно пропорционален радиусу окружности.

Из проведенных рассуждений видно, что нормальное ускорение — вектор, направленный перпендикулярно вектору скорости в сторону вогнутости траектории (рис. 1.70).

Нетрудно увидеть, что полученные нами выражения для нормального ускорения справедливы не только для движений по окружности, но и для движений по любым криволинейным траекториям. Действительно, для любой кривой линии мы всегда можем построить окружности, соприкасающиеся с этой кривой в любой нужной нам точке (рис. 1.71). Тогда при расчете нормального ускорения мы можем заменить дугу траектории А В соответствующей дугой соприкасающейся окружности, повторить все расчеты и получить то же самое выражение для

Еще раз подчеркнем, что оба ускорения, тангенциальное и нормальное, по своей физической природе одинаковы. Оба они выражаются через отношения приращений скорости к приращению времени. Только они выполняют разные служебные обязанности: тангенциальное ускорение изменяет модуль скорости, а нормальное ускорение изменяет ее направление. Одинаковость физической природы означает, что оба ускорения могут вызываться только одинаковыми причинами.

Итак, мы нашли выражения для тангенциального и нормального ускорений, справедливые для движений по любым траекториям, доказали, что они являются векторами.

Рис. 1.72.

Этим самым мы доказали, что и полное ускорение — тоже вектор, потому что оно представляет собой сумму

Допустим, например, что тело движется равноускоренно по окружности радиуса Тангенциальное ускорение будет постоянно, направлено по касательной и равно Нормальное ускорение направлено к центру окружности и равно Полное ускорение будет вектором, равным сумме векторов направленным под углом а к радиусу. Модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

Угол а, который полное ускорение а составляет с радиус-вектором движущейся точки, будет определяться уравнением