§ 18. Две основные задачи кинематики

Теперь, когда определены все величины, необходимые для полного описания движения, можно сформулировать две задачи, которые являются основными для кинематики.

Задача 1 (прямая). По известной общей картине движения определить состояние движения тела для каждого момента времени, или, по-другому, по известным траектории и закону движения определить скорость и изменения этой скорости для каждого момента времени и каждой точки траектории.

Задача 2 (обратная). По заданному начальному положению, начальной скорости и известным для каждого момента времени изменениям скорости найти траекторию и закон движения тела.

Решение этих задач в общем случае требует применения сложного математического аппарата, который мы не можем пока использовать. Поэтому ограничимся рассмотрением нескольких простейших примеров.

Пример 1. Космонавт проходит испытания на центрифуге. При этом кабина с космонавтом вращается по окружности радиуса Скорость кабины по модулю остается постоянной и равной Определить, как меняется направление этой скорости с течением времени? Это пример первой задачи — по известной траектории определить направление скорости для любого момента времени.

Рис. 1.56.

На рис. 1.56 представлен вид на центрифугу и пунктиром показана траектория движения кабины. Допустим, что в некоторый (начальный) момент времени кабина находилась в точке О. Через некоторое время она окажется в точке А, через какое-то другое время — в точке В и т. д. (рис. 1.57). В предыдущих параграфах мы показали, что вектор скорости в каждой точке всегда будет направлен по касательной к траектории. Следовательно, в точках он будет направлен по касательной к окружности, т. е. во всех точках будет всегда перпендикулярен радиус-вектору кабины (см. рис. 1.57).

Так как скорость кабины по модулю постоянна, то кабина (а вместе с ней и конец радиус-вектора) за время будет проходить длину дуги окружности пропорциональную модулю скорости и времени движения т. е.

Это означает, что радиус-вектор следовательно, вместе с ним и вектор скорости) с течением времени будет поворачиваться и при этом угол поворота будет равномерно увеличиваться пропорционально времени Действительно, центральный угол (в радианах) по определению равен отношению дуги, на которую он опирается, к радиусу окружности, т. е.

Рис. 1.57.

Угол поворота радиус-вектора (и вектора скорости) за единицу времени:

Таким образом, по известной траектории движения мы нашли направления вектора скорости для любых точек траектории и изменения этого направления с течением времени. При движении тела по окружности вектор скорости непрерывно поворачивается и при этом угол поворота вектора скорости прямо пропорционален модулю скорости времени движения А и обратно пропорционален радиусу окружности

Знание того, насколько быстро меняется направление скорости при движении по окружности, оказывается необычайно важным при расчете тех перегрузок, которые испытывает космонавт на центрифуге.

Пример 2. Известно, что в некотором движении вектор скорости сохранял свое направление все время неизменным. Какова была траектория этого движения? Это пример второй задачи — по известным направлениям вектора скорости определить форму траектории.

Прежде всего вспомним, что каждый элемент траектории всегда с достаточной точностью может быть заменен физически малым вектором перемещения (рис. 1.58). В свою очередь вектор перемещения может быть выражен через вектор скорости. Вектор скорости по определению равен Так как вектор скорости «нам известен, то из этого соотношения можно найти вектор перемещения для любого малого промежутка времени Д:

Если выбрать какой-либо момент времени за начальный и допустить, что тело в этот момент находилось в точке то можно, используя полученное выражение для восстановить по частям всю траекторию. Возьмем первый малый промежуток времени За это время тело совершит перемещение

Рис. 1.58.

в направлении скорости, которую оно имело в точке Тело перейдет в точку траектории. Возьмем второй промежуток времени За это время тело из точки перейдет в точку в направлении скорости, которую оно имело в точке и совершит перемещение

Повторяя операцию последовательного построения малых векторов перемещений, мы восстановим всю траекторию. При этом из каждой очередной точки тело будет уходить в направлении той скорости, которую оно имело в этой точке. Но по условию направление вектора скорости во всех этих точках одинаково. Значит, полученная последовательность малых векторов перемещений образует прямую линию, т. е. движение было прямолинейным.

Заметим, что рассмотрение этого примера позволяет нам дать такое определение прямолинейного движения: прямолинейным движением называется движение с неизменной по направлению скоростью.

Неизменность направления скорости в прямолинейном движении значительно упрощает решение задач, так как позволяет ограничиться только определением модуля и знака скорости.

Пример З. Для движения некоторого тела был получен график закона движения, показанный на рис. 1.59, а. Определить модуль скорости, с которой двигалось тело в разные моменты времени. Это пример первой задачи — по известному закону движения определить модуль скорости.

Мы уже знаем, что при движении по любой траектории скорость связана с изменением длины пути соотношением В § 16 было сказано, что отношение определяет угол наклона касательной в соответствующей точке графика закона движения. Глядя на график закона движения, изображенный на рис. 1.59, а, можно сказать, что движение тела было неравномерным: сначала оно было медленным, потом скорость возросла, затем началось торможение и на одиннадцатой секунде тело остановилось.

На этом графике можно выделить пять прямолинейных, плавно переходящих друг в друга участков, каждому из которых соответствует постоянная скорость. Для первого промежутка времени изменение длины пути и скорость на этом участке

Для второго промежутка времени изменение длины пути и скорость на этом участке

Соответственно для третьего, четвертого и пятого участков скорости будут

Рис. 1.59.

Таким образом, проведя касательные к графику закона движения, можно найти модули скоростей для всех моментов времени.

Найденные нами значения скоростей для разных моментов времени движения позволяют построить график зависимости скорости от времени (рис. 1.59, б). Такие графики зависимости скорости от времени будут широко использоваться при рассмотрении сложных движений.