§ 56. Пример решения сложной задачи

Проследим порядок действий на примере решения сложной задачи.

На невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок В, подвешен груз массой (рис. 2.35). К подвижному блоку А прикреплен груз массой Определить ускорения грузов и силу натяжения нити Блоки невесомы (т. е. их масса равна нулю).

Первый этап. Будем рассматривать движения тел относительно Земли.

Рис. 2.35.

Рис. 2.36.

Оба тела могут совершать относительно Земли прямолинейные движения по вертикали. Ускорения тел будут разными по модулю и направленными в противоположные стороны. Движения тел связаны между собой: когда одно из них опускается, другое поднимается. Связь между движениями возникает из-за нерастяжимости нити. Все движения грузов могут быть только такими, при которых длина нити остается постоянной.

Второй этап. На каждое из тел действует со стороны Земли сила тяжести. Для этих сил известны направления и модули (рис. 2.36). Обе силы направлены по вертикали вниз и равны

На первое тело, кроме силы тяжести, действует еще сила натяжения нити Относительно этой силы можно сказать только, что она всегда направлена вдоль нити. Сила натяжения зависит от состояния движения удерживаемых нитью тел и может меняться. Значение силы должно быть определено из решения задачи.

На второе тело, кроме силы тяжести, действуют еще силы натяжения двух частей нити, удерживающих блок А. Обе эти силы направлены вверх. Так как по условию задачи нить и блоки невесомы, то натяжение нити во всех точках можно считать одинаковым. Поэтому можно сказать, что на груз вверх действуют две одинаковые силы каждая из которых численно равна силе натяжения нити, действующей на груз

Третий этап. Условимся для всех векторов считать направления вниз положительными, вверх — отрицательными (рис. 2.36).

Четвертый этап. На тело действуют две силы: в положительном направлении сила тяжести в отрицательном — сила натяжения нити Сумма сил будет . В соответствии с этим уравнение второго закона Ньютона для первого тела будет

иметь вид

Для второго тела уравнение второго закона Ньютона запишется в виде

Обратим внимание на то, что нельзя заранее сказать, куда будут направлены ускорения (вверх или вниз). Это зависит от соотношения грузов Поэтому в уравнения входят как алгебраические неизвестные. Необходимо определить не только их модули, но и знаки. Проверим, соответствует ли число полученных уравнений числу неизвестных. Мы получили два уравнения. В них содержатся три неизвестных: два ускорения и сила натяжения нити Система неполная. Нужно искать еще одно дополнительное уравнение.

Пятый этап. На первом этапе решения задачи было отмечено, что движения грузов не являются независимыми. На эти движения наложено ограничение: во время движения длина нити должна оставаться неизменной. Допустим, что груз опустился вниз на расстояние (рис. 2.37). Тогда длина нити, на которой висит блок А, укоротится на такую же величину Это вызовет перемещение блока А вверх. При этом блок и, вместе с ним, груз передвинутся вверх на расстояние

(знак минус указывает на различие в направлениях движений грузов). Это соотношение между расстояниями, пройденными телами, справедливо для всех моментов времени. Следовательно, оно должно быть справедливо также для скоростей и ускорений, которыми будут обладать тела в любой момент времени, т. е. во время движения системы должно соблюдаться уравнение

Это уравнение выражает заданную в задаче связь между движениями. Оно и будет недостающим уравнением для решения задачи.

Проведем окончательную проверку полноты полученной системы уравнений При решении задачи мы нашли: уравнения второго закона Ньютона

Рис. 2.37.

уравнение связи между движениями

Получена полная система уравнений с неизвестными и на этом физическая часть решения задачи может считаться законченной.

Шестой этап. Решение системы уравнений дает следующие формулы:

Обратим внимание на то, что если масса груза то ускорения обращаются в нуль. Система будет находиться в равновесии, и сила натяжения нити будет равна силе тяжести, действующей на первый груз:

Если то Первый груз будет опускаться, второй — подниматься, и сила натяжения нити будет меньше силы тяжести

Если же то тела будут двигаться в обратном направлении, и сила натяжения нити будет больше силы тяжести

Таким образом, алгебраическое решение полученной системы уравнений не только позволило получить формулы для определения неизвестных величин, но и указать условия, при которых тела будут совершать те или иные движения.

Седьмой этап. В рассматриваемом примере массы тел заданы в единицах системы Для получения ответа нужно знать, ускорение свободного падения . В системе СИ ускорение Подставляя эти значения в расчетные формулы, получим:

Первый груз с ускорением будет подниматься, а второй груз с вдвое меньшим ускорением будет опускаться.

В рассмотренной сложной задаче пришлось использовать все этапы решения. В большинстве случаев, с которыми вам придется сталкиваться, пятый этап оказывается излишним, и решение задачи значительно упрощается.

После детального разбора конкретного примера еще раз составим краткую сводную таблицу последовательных этапов рассуждений и действий, которые нужно производить при решении задач.

При решении любой задачи на применение законов Ньютона необходимо:

1) провести качественный анализ характера всех возможных движений тел;

2) указать все силы, действующие на каждое тело;

3) условиться о положительных и отрицательных направлениях для сил и ускорений;

4) написать уравнения второго закона Ньютона для любого возможного движения каждого тела;

5) отыскать уравнения, недостающие для полноты системы;

6) провести алгебраический расчет; найти формулы для определения неизвестных величин;

7) привести числовые значения всех величин в одну систему единиц; провести арифметический расчет; проверить решение.