§ 19. Формула закона равномерного движения

Рассмотрим еще одну частную задачу.

Известно, что модуль скорости у тела во все время движения оставался постоянным и равным 5 м/с. Найти закон движения этого тела. Начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения тела.

Чтобы решить задачу, воспользуемся формулой

Отсюда можно найти приращение длины пути за любой малый промежуток времени

По условию модуль скорости постоянен. Это значит, что приращения длины пути за любые равные промежутки времени будут одинаковы. По определению, это равномерное движение. Полученное нами уравнение есть не что иное, как закон такого равномерного движения. Если в это уравнение подставить выражения то легко получить

Допустим, что начало отсчета времени совпадает с началом движения тела. Учтем, что по условию начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения тела. Возьмем в качестве промежутка время от начала движения до нужного нам момента Тогда мы должны положить После подстановки этих значений закон рассматриваемого движения будет иметь вид

Рассмотренный пример позволяет дать новое определение равномерного движения (§ 13): равномерным движением называется движение с постоянной по модулю скоростью.

Этот же пример позволяет получить общую формулу закона равномерного движения.

Если начало отсчета времени совпадает с началом движения, а начало отсчета длин путей совпадает с начальной точкой движения, то закон равномерного движения будет иметь вид

Если время начала движения а длина пути до начальной точки движения то закон равномерного движения приобретает более сложный вид:

Обратим внимание еще на один важный результат, который можно получить из найденного нами закона равномерного движения. Допустим, что для некоторого равномерного движения дан график зависимости скорости от времени (рис. 1.60). Закон этого движения Из рисунка видно, что произведение численно равно площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком зависимости скорости от времени и ординатой, соответствующей

заданному моменту времени по графику скорости можно рассчитать приращения длин путей во время движения.

Рис. 1.60.

Используя более сложный математический аппарат, можно показать, что этот результат, полученный нами для частного случая, оказывается справедливым и для любых неравномерных движений. Приращение длины пути за время движения всегда численно равно площади фигуры, ограниченной графиком скорости осями координат и ординатой, соответствующей выбранному конечному моменту времени.

Такая возможность графического отыскания закона сложных движений будет использоваться в дальнейшем.