§ 25. Формула скорости равнопеременного движения

Проведем для примера расчет равнопеременного движения. Найдем формулу скорости и закон этого движения. Еще раз заметим, что такое движение может совершаться по любой траектории. Будем считать это движение прямолинейным только для того, чтобы иметь возможность не заниматься вопросом о направлениях векторов и не писать у тангенциального ускорения значок

В § 23 были приведены два равнозначных определения равнопеременного движения. Для нашего случая прямолинейного движения эти определения можно дать в следующем виде: равнопеременное движение — движение, в котором модуль скорости за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, или равнопеременное движение — движение с постоянным тангенциальным ускорением.

Для отыскания формулы скорости воспользуемся вторым определением. Построим график зависимости ускорения от времени и вспомним, что Так как по определению а постоянно, то график будет представлять собой прямую, параллельную оси времени (рис. 1.73). Отметим два произвольных момента

Рис. 1.73.

Рис. 1.74.

определяющие промежуток времени Из формулы для ускорения получаем, что приращение скорости за время равно

Как видно из рис. 1.73, эта величина численно равна площади заштрихованной фигуры.

Используя это, мы можем найти полное изменение скорости за все время движения. Предположим, что начало отсчета времени совпадает с началом движения: и начальная скорость при равна Тогда интервал соответствующий полному времени движения, будет (рис. 1.74). Полное изменение скорости:

Так как

или

Это общая формула для расчета скорости равнопеременного движения. Заметим, что в этой формуле — алгебраические величины. Знаки этих величин зависят от выбора положительных и отрицательных направлений для отсчета длин путей и от характера движения.

Рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся частные случаи равнопеременного движения. При этом открыто покажем знаки всех алгебраических величин.

Случай 1. Пусть начальная скорость не равна нулю и положительна, ускорение а также положительно. Это — равноускоренное движение с начальной скоростью, совершаемое в положительном направлении. Формула скорости этого движения при открыто показанных знаках (здесь под понимаются модули

соответствующих величин):

График изменения скорости представляет собой прямую, пересекающую ось ординат на высоте и уходящую в направлении роста положительных значений скорости (рис. 1.75). Угол наклона прямой будет тем больше, чем больше ускорение а.

Случай 2. Пусть начальная скорость равна нулю, а ускорение а положительно. Это — равноускоренное движение без начальной скорости, совершаемое в положительном направлении. Формула скорости этого движения:

График изменения скорости имеет вид прямой, уходящей из начала координат в направлении роста положительных значений скорости (рис. 1.76).

Случай 3. Пусть начальная скорость не равна нулю и положительна, а ускорение а отрицательно. Для этого случая формула скорости:

где знак учитывает, что ускорение а направлено противоположно скорости График изменения скорости будет иметь вид, показанный на рис. 1.77. Это случай более сложного движения. Тело при имело положительную скорость и начало двигаться в положительном направлении. До момента скорость постепенно уменьшалась, движение тела было равнозсшедленным. В момент тело остановилось и затем начало двигаться с возрастающей

Рис. 1.75.

Рис. 1 76.

Рис. 1.77.

скоростью в обратном направлении. После момента движение стало равноускоренным с отрицательной скоростью.

Как мы увидим дальше, именно так меняются скорости и направления движения тела, брошенного вертикально вверх. Тело сначала поднимается, постепенно уменьшая свою скорость до нуля. Затем начинает падать, двигаясь равноускоренно с тем же ускорением, какое оно имело при подъеме.

Мы рассмотрели несколько частных случаев равнопеременных движений и убедились в том, что при решении практических задач на расчет скоростей требуется очень внимательное отношение к знакам величин, входящих в эти формулы. В зависимости от знаков получаются формулы совершенно разных типов движения.