§ 32. Правила перехода от одной системы отсчета к другой. Преобразования Галилея

Мы научились рассчитывать движения в какой-то одной заданной или выбранной нами системе отсчета. Однако на практике бывает необходимо уметь перейти от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим несколько примеров.

Два корабля находятся в области течения Гольфстрим. Один из кораблей терпит бедствие и дрейфует, второй должен прийти ему на помощь. Штурман и командир второго корабля знают координаты обоих кораблей относительно Земли и скорость течения. Они должны рассчитать направление и время движения своего судна до встречи с первым. Это удобнее сделать в системе отсчета, связанной с движущейся водой. Но для этого они должны суметь определить по заданному (относительно Земли) расположению кораблей их расположение относительно движущейся воды для любого момента времени, т. е. они при расчетах должны перейти из одной системы отсчета в другую.

Рис. 1.87.

Опытный водитель автомашины при маневрировании в большом потоке машин на улице больше следит за тем, как другие машины движутся относительно него, а не относительно Земли, т. е. он умеет переходить из одной системы отсчета в другую.

Одной из трудных задач для космонавта Леонова при первом его выходе в открытый космос было заставить себя не видеть движения относительно Земли, а рассчитывать свои движения только относительно космического корабля.

Для любого спортсмена, желающего стать мастером фигурного катания или гимнастики, особенно важно не только овладение техникой упражнений, но и выработка умения видеть и чувствовать свои движения в системе отсчета, связанной со своим телом, а не с Землей, т. е. умения переходить из одной системы отсчета в другую.

Умение рассчитывать движение в разных системах отсчета необходимо также при конструировании машин.

Найдем правила перехода из одной системы отсчета в другую для какого-либо простейшего случая.

Допустим, что пароход, вышедший из пункта С, плывет вниз по течению реки (рис. 1.87, а). Скорость течения известна. За время пароход переместился относительно пункта С на расстояние Определить, какое расстояние I он прошел относительно воды? Какова скорость парохода относительно Земли и относительно воды?

Прежде всего отметим, что в условии приведены данные, относящиеся к двум разным системам отсчета. Расстояние пройденное пароходом, дано для системы отсчета А, неподвижно связанной с Землей (рис. 1.87, б). Необходимо определить расстояние пройденное в другой системе А, связанной с движущейся водой. Требуется также найти скорость парохода в обеих системах отсчета: относительно Земли и относительно воды. Причем в обеих системах начало отсчета времени совпадает с началом наблюдения за движениями.

Для ответа на первый вопрос задачи заметим, что движущаяся система А за время пройдет относительно Земли расстояние, равное

Как видно из рис. 1.87, б, расстояния связаны между собой простым соотношением: Отсюда можно получить выражение для :

Это соотношение носит название преобразования Галилея. Оно гласит: расстояние, пройденное телом в равномерно и прямолинейно движущейся системе отсчета, равно расстоянию, пройденному телом в неподвижной системе, минус произведение скорости движущейся системы на время движения.

Так как скорость течения и скорость парохода относительно воды направлены по одной прямой, преобразование Галилея позволяет найти соотношение между ними. Если обозначить скорость движения парохода относительно Земли через а относительно воды — через и, то закон движения парохода относительно Земли: а относительно воды: Подставляя эти выражения в уравнение получим

Отсюда простым преобразованием получается выражение для скорости парохода в движущейся системе отсчета:

Итак: скорость тела в равномерно и прямолинейно движущейся системе отсчета равна скорости тела в неподвижной системе отсчета минус скорость движущейся системы.

Из преобразований Галилея следует еще один важный вывод: во всех системах отсчета, равномерно и прямолинейно движущихся друг относительно друга, ускорения движущегося тела одинаковы.

Действительно, пусть пароход относительно Земли движется равноускоренно с ускорением По условию скорость воды постоянна. Для определения ускорения парохода относительно воды нужно, пользуясь формулой найти приращение Получаем Так как то

Этот вывод мы используем в динамике при рассмотрении принципа относительности.

Отметим отдельно одно молчаливое допущение, которое мы сделали при выводе формул преобразований Галилея. В § 2 было специально указано на то, что часы и линейки при наблюдении механических движений должны быть обязательно неподвижны относительно системы отсчета. У нас две системы. Значит, должны быть два комплекта

Рис. 1.88.

часов и линеек. Первый комплект должен располагаться неподвижно относительно Земли, второй — двигаться вместе с водой со скоростью и (рис. 1.88). В наших расчетах мы пользовались только одним временем и предполагали, что все расстояния измеряются также в одном масштабе. Другими словами, мы предполагали, что неподвижные и движущиеся часы ходят одинаково, а измерительные линейки в обеих системах имеют одинаковый масштаб.

Это очень важное допущение, которое требует дополнительной проверки и доказательства, о чем будет рассказано в § 35. Сейчас пока отметим, что это допущение справедливо только для не очень быстрых движений.