§ 93. Примеры применения разных форм второго закона Ньютона

Рассмотрим несколько примеров на применение разных форм второго закона Ньютона.

Пример 1. Легковой автомобиль двигался с некоторой скоростью и затем должен был срочно затормозить (рис. 5.10). Длина тормозного пути оказалась равной Определить, с какой начальной скоростью двигался автомобиль, если коэффициент трения покрышек колес о дорогу Автомобиль при торможении двигался прямолинейно и горизонтально.

Из условия задачи следует, что конечная скорость автомобиля Из условия известны также сила и расстояние, на котором она действовала. Необходимо определить только начальную скорость Поэтому удобно воспользоваться вторым законом Ньютона в форме

Подсчитаем работу совершаемую силой трения По определению эта сила равна где сила нормального давления (§ 68). В нашем случае где масса автомобиля; следовательно, Сила трения постоянна во все время торможения; значит, работу можно подсчитывать по формуле а сразу для всего расстояния, пройденного автомобилем.

Так как направление силы и направление перемещения автомобиля противоположны, в формуле работы нужно считать т. е. Это значит, что сила трения совершает отрицательную работу, равную

Подставляя это значение работы в уравнение второго закона Ньютона в форме и учитывая, что получим:

откуда

В полученную формулу подставим числовые значения, заданные условием задачи: Найдем, что

Из найденной формулы следует, что длина тормозного пути очень быстро растет с увеличением скорости машины:

Например, при увеличении скорости от 56 до длина тормозного пути возрастает с 6 до Этой зависимостью определяются

все ограничения в скоростях при движении транспорта и расстановка предупредительных знаков на дорогах. По формуле, похожей на найденную нами, производится определение скоростей машин при дорожных происшествиях.

Пример 2. Скорость снаряда, вылетевшего из ствола орудия, равна 1200 м/с. Определить среднюю силу давления пороховых газов при выстреле. Длина ствола орудия Масса снаряда

Эта задача является обратной по отношению к рассмотренной в первом примере. Известны начальная скорость снаряда и его конечная скорость Кроме того, известно расстояние на котором действовала сила.

Для решения задачи удобно применить второй закон Ньютона опять в виде

Учитывая, что формулу, получим:

После подстановки числовых значений найдем, что

Рассмотрим более сложную задачу, когда одновременно приходится применять разные формы законов Ньютона.

Пример 3. С помощью копра производится забивка свай (рис. 5.11). Перед ударом боек копра массой поднимается на высоту Затем он свободно падает и ударяет по свае. Удар считается неупругим. В результате удара свая погружается в грунт на 2 см. Определить, какую нагрузку сможет выдерживать свая после забивки ее в землю.

Рис. 5.10.

Рис. 5.11.

Масса сваи Величина допускаемой нагрузки на сваю считается равной силе сопротивления грунта при ее забивке.

Все движения, которые совершают боек копра и свая, можно разделить на три независимых этапа.

Первый этап — свободное падение бойка с высоты до соприкосновения со сваей. В это время на боек действует сила тяжести. Известны расстояние на котором действует эта сила, и начальная скорость бойка Нужно определить конечную скорость бойка перед прикосновением его к свае.

Для расчета этого движения бойка удобно применить второй закон Ньютона в форме определив сначала кинетическую энергию, приобретенную бойком, а затем его скорость перед ударом:

Следовательно,

Второй этап — неупругий удар бойка о сваю. Известны скорости обоих тел до удара (скорость бойка и скорость сваи, равная нулю). Нужно определить их общую скорость и после удара. В этом случае для расчета удобно применить закон сохранения количества движения к системе, состоящей из бойка и сваи. Количество движения системы до удара равно после удара Тогда уравнение закона сохранения количества движения запишется так:

Отметим, что во время неупругого удара часть кинетической энергии, принесенной бойком, превращается в тепло, и поэтому к данному расчету нельзя применять закон Ньютона, записанный через работу и энергию.

Третий этап — погружение сваи в грунт. Сила сопротивления грунта, тормозя движение сваи вместе с бойком, совершает отрицательную работу и превращает всю оставшуюся в системе кинетическую энергию в тепло. На этом этапе опять удобно воспользоваться вторым законом Ньютона в виде Учитывая, что

получим:

Окончательно после подстановки числовых значений находим: