§ 103. Примеры применения закона сохранения энергии

Рассмотрим несколько простейших примеров применения закона сохранения энергии к расчету механических движений.

Пример 1. Высота плотины Саяно-Шушенской ГЭС 237 м. Разность высот между поверхностью воды в водохранилище и уровнем, на котором находятся турбины, 212 м. Определить, какую скорость имела бы вода при входе на лопатки рабочих колес турбины, если бы она шла по водоводам без трения (рис. 5.34).

Рис. 5.34.

В задаче требуется определить только модуль скорости. Для этого сопоставим энергии для массы воды до входа в водовод и после выхода из него на рабочее колесо турбины и применим закон сохранения энергии.

Условимся потенциальную энергию воды на уровне рабочего колеса турбины считать равной нулю. Тогда до входа в водовод вода будет обладать только потенциальной энергией, равной При выходе из водовода на рабочее колесо турбины потенциальная энергия воды будет равна нулю, а кинетическая По закону сохранения энергии должно быть

После подстановки числовых значений получим, что вода при входе на лопатки рабочих колес турбины имела скорость

Пример 2. Тело массы падает с высоты и попадает на пружину, жесткость которой (рис. 5.35). Определить сжатие пружины. Трением пренебречь.

Условие этой задачи также позволяет применить закон сохранения энергии. При падении тела сначала происходит превращение потенциальной энергии тела относительно Земли в кинетическую энергию этого тела.

Рис. 5.35.

Затем кинетическая энергия тела превращается в потенциальную энергию сжатой пружины.

Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, до начала движения равна Потенциальная энергия пружины после падения тела равна По закону сохранения энергии

(при расчете было учтено, что

После того как пружина сожмется и тело остановится, все движения повторятся в обратном порядке. Сначала пружина начнет расправляться. Ее потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию тела. Затем при подъеме кинетическая энергия тела начнет превращаться в потенциальную энергию, зависящую от положения тела относительно Земли. Если трения нет, тело, двигаясь вверх, должно достичь той же высоты с которой оно начало падать. Такой процесс падения и последующего подъема должен был бы повторяться неограниченно много раз при условии отсутствия трения.

Приблизительно так будет вести себя стальной шарик при падении на гладкую упругую стеклянную поверхность (рис. 5.36, а). Постепенное уменьшение высоты подъема шарика, которое можно наблюдать при этом, полностью объясняется потерями энергии на трение (рис. 5.36, б).

Пример 3. Груз массы подвешен на пружине жесткостью (рис. 5.37). Пружина растянута, и груз отклонен на расстояние 5 от положения равновесия 00. Затем груз отпускают, и он начинает двигаться. Определить, какую скорость и будет иметь груз, проходя положение равновесия. Силами трения и тяжести пренебречь.

Нам известно состояние движения системы для момента времени, когда груз находился в положении А А.

Рис. 5.36.

Рис. 5.37.

Нужно определить скорость для другого момента времени, когда груз будет проходить положение 00. Так как потерь на трение нет, то удобно применить для решения задачи закон сохранения энергии. При наибольшем отклонении система обладает только потенциальной энергией

При прохождении положения равновесия пружина не растянута. Потенциальная энергия ее равна нулю. Груз в этот момент имеет скорость и кинетическую энергию По закону сохранения энергии

откуда

К моменту прохождения положения равновесия тело достигает наибольшей скорости которая прямо пропорциональна наибольшему отклонению тела от положения равновесия. Со скоростью тело пройдет положение равновесия и начнет двигаться вверх, постепенно сжимая пружину. При этом кинетическая энергия тела постепенно начнет превращаться в потенциальную энергию сжатой пружины. Нетрудно увидеть, что когда сжатие достигнет значения то в этот момент тело остановится и кинетическая энергия его полностью превратится в потенциальную. Затем весь процесс повторится в обратном порядке. Груз под действием упругой силы будет непрерывно совершать колебательные движения около положения равновесия.

Этот пример позволяет увидеть очень важную особенность таких движений. При колебаниях тела под действием упругой силы (без трения) полная энергия системы остается постоянной. Во время движения происходят только непрерывные переходы энергии из кинетической в потенциальную и обратно.

Насколько часто будут повторяться такие движения тела?

Допустим, что груз подвешен один раз на мягкой пружине с малой жесткостью а другой раз — на жесткой пружине с большой жесткостью При каждом заданном растяжении мягкая пружина будет развивать малую силу и создавать у тела небольшие ускорения Груз под действием этой силы будет набирать скорость медленно. Ему потребуется большое время, чтобы из положения перейти в положение равновесия. Следовательно, возникающие колебания будут медленными, число колебаний в единицу времени будет мало. В случае жесткой пружины большие силы будут создавать большие ускорения Груз будет достигать положения равновесия быстрее, движения груза будут повторяться чаще. Поэтому можно сказать, что число колебаний груза в единицу времени должно расти вместе с увеличением жесткости пружины

Рассмотрим другой случай. К одной и той же пружине жесткостью подвешены разные грузы: один раз — груз большой массы другой раз — груз малой массы Нетрудно увидеть, что данная пружина большому грузу сообщит малые ускорения и он будет медленнее набирать скорость, тратить много времени для того, чтобы подойти к положению равновесия.

Рис. 5.38.

Движения такого груза будут повторяться реже, чем движения легкого груза. Поэтому можно сказать, что число колебаний груза в единицу времени должно убывать с ростом массы колеблющегося тела

При изучении колебаний и волн будет показано, что число колебаний груза на пружине в единицу времени всегда пропорционально коэффициенту входящему в формулу полученную в этом параграфе.

Пример 4. Два груза массами удерживаются на нерастяжимой нити, перекинутой через блоки так, как показано на рис. 5.38, а. Масса груза известна. Определить, при каком значении массы система будет находиться в равновесии. Трением пренебречь.

Применим для решения задачи закон сохранения энергии. Система (грузы и Земля) — изолированная. Сил трения нет. Следовательно, полная энергия системы при любых движениях должна оставаться постоянной.

Допустим, что система уравновешена. Тогда при малом перемещении грузов произойдет только изменение положения этих грузов, и они не получат ускорений. При таком движении будет происходить изменение потенциальной энергии каждого из грузов. Подсчитаем эти изменения.

Допустим для определенности, что груз поднялся вверх на расстояние (рис. 5.38, б). При этом второй груз опустится на некоторое расстояние После передвижения потенциальная энергия первого груза увеличится, второго — уменьшится.

Будем считать, что потенциальная энергия каждого из грузов равна нулю, когда они находятся в самом низком из рассматриваемых положений. Тогда до начала движения потенциальная энергия первого груза а второго груза Полная энергия

системы для этого момента равна.

После передвижения потенциальная энергия первого груза станет равной а потенциальная энергия второго груза Полная энергия системы для этого момента будет:

По закону сохранения энергии

Отсюда следует, что при равновесии должно быть

Нить по условию нерастяжима. При подъеме груза через неподвижный блок направо перейдет часть нити длиной Это увеличение длины нити, удерживающей подвижный блок, вызовет движение груза Из рис. 5.38, б видно, что

Подставляя найденное значение получим:

Отметим, что на груз действует сила тяжести на груз сила тяжести Поэтому полученный нами результат может быть записан так:

Таким образом, мы получили известную формулу выигрыша в силе с помощью подвижного блока.

Еще раз сопоставляя выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии, можно получить формулу

Эта формула выражает уже известное вам «золотое правило механики»: сколько в простых машинах выигрывается в силе, столько проигрывается в расстоянии.

Таким образом, мы показали, что «золотое правило» является частным случаем закона сохранения энергии, когда он применяется к расчету систем, находящихся в равновесии. Отметим, что применение «золотого правила» при расчете равновесия тел значительно упрощает решение многих задач, и это часто используется в технической механике.

Пример 5. Пуля массы летит со скоростью (рис. 5.39). После удара о препятствие она застревает в нем и останавливается.

Рис. 5.39.

Рис. 5.40.

Определить, какое количество тепла выделится при неупругом ударе.

При ударе все механическое движение пули превращается в тепловое движение. При этом кинетическая энергия пули полностью превращается в тепло. По закону сохранения энергии

Подставляя числовые значения в системе СИ, получим:

Пример 6. В заключение рассмотрим такую задачу, в которой требуется использование закона сохранения энергии вместе с другими законами. Груз массы подвешен на нити длиной I (рис. 5.40). Нить была отклонена до горизонтального положения, после чего грузу предоставили возможность двигаться. Определить силу натяжения нити в тот момент, когда груз будет проходить самую низшую точку О траектории.

Точку О груз проходит с некоторой скоростью по дуге окружности радиусом Следовательно, в этот момент его нормальное ускорение равно и направлено вверх. Появление этого ускорения обеспечивается совместным действием силы натяжения нити и силы тяжести груза

Для определения силы необходимо применять второй закон Ньютона. Будем считать положительным направление вверх. Тогда уравнение второго закона Ньютона запишется в виде

В уравнении содержатся два неизвестных

Для определения необходимо рассмотреть все движение тела. Так как силы трения отсутствуют, то для определения скорости можно применить закон сохранения энергии. Рассмотрим два положения тела: в момент наибольшего отклонения и в момент прохождения точки О. Потенциальную энергию будем считать равной нулю на уровне точки О. Тогда в первый момент потенциальная энергия будет равна а кинетическая — нулю. Во второй момент потенциальная энергия станет равной нулю, а кинетическая — По закону сохранения энергии:

Подставляя значение в уравнение второго закона Ньютона и разрешая это уравнение относительно получим:

Следовательно, сила натяжения нити будет равна утроенной силе тяжести груза. Таким образом, закон сохранения энергии позволил получить дополнительное уравнение для решения задачи на расчет сил по второму закону Ньютона и довести это решение до конца.