§ 29. Два примера свободного падения тел

Учитывая, что с задачами на расчет движения тел под действием земного притяжения часто приходится встречаться на практике, рассмотрим два простых примера.

Пример 1. Тело находилось на высоте (рис. 1.81). Определить, через какое время оно упадет на Землю и какую скорость будет иметь в момент падения. Начальная скорость была равна нулю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рассмотрим движение тела относительно Земли. Тело при падении будет двигаться по вертикали прямолинейно и равноускоренно по общему закону с ускорением направленным вниз. Длины путей будем отсчитывать от точки начала падения, а направление вниз будем считать положительным. Время будем отсчитывать от момента начала падения.

Рис. 1.81.

Рис. 1.82.

В соответствии с выбором начала отсчета длин путей и начальными условиями в начальный момент будет Закон движения и формула скорости будут иметь вид:

Условие падения на Землю будет

Решение системы трех уравнений позволяет найти время падения: и скорость в момент падения:

Пример 2. Тело было брошено вертикально вверх с начальной скоростью (рис. 1.82). Определить: наибольшую высоту подъема и время подъема; время, когда тело будет на некоторой заданной высоте время, через которое тело упадет на Землю, и скорость в момент падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Будем рассматривать движение тела относительно Земли. Тело будет двигаться прямолинейно по вертикали. Движение будет равнопеременным по общему закону со скоростью Ускорение движения будет равно и направлено вниз. Движение будет замедленное в начале и ускоренное в конце. На наибольшей высоте подъема вертикальная скорость тела обратится в нуль.

В задаче требуется рассмотреть состояния движения в трех разных положениях, значит, придется проводить три варианта конечных решений.

Для решения задачи условимся отсчитывать длины пути от точки бросания тела и считать положительным направление вверх. Пуск секундомера совместим с моментом бросания тела.

В соответствии с выбранным началом отсчета длин путей и начальными условиями в начальный момент будет Ускорение во все время движения фактическое время движения будет равно показаниям секундомера

Закон движения и формула скорости при указанных начальных условиях будут иметь вид:

Эти уравнения будут справедливы во все время движения. Но имеется только два уравнения для отыскания трех неизвестных. Для отыскания недостающего третьего уравнения придется рассмотреть в соответствии с условием задачи три различных случая.

Случай 1. Тело достигло наибольшей высоты . В этот момент, как это следует из анализа задачи, и условием подъема тела на наибольшую высоту будет

Таким образом, полная система уравнений для этого случая:

Разрешая эту систему и подставляя в уравнения найдем время подъема на наибольшую высоту:

и наибольшую высоту подъема:

Случай 2. Тело оказалось на заданной высоте Условием нахождения тела на заданной высоте будет уравнение и полная система уравнений для этого случая будет:

Разрешая эту систему, находим время, когда тело достигнет заданной высоты:

и скорость тела в этот момент:

Мы видим, что на каждой промежуточной высоте тело бывает дважды: первый раз во время подъема и второй — во время спуска . В эти моменты скорости одинаковы по модулю, но различны по направлению: во время подъема скорость направлена вверх а во время спуска — вниз

Случай 3. Падение тела на Землю. Уравнение, выражающее условие нахождения тела на Земле, будет Полная система уравнений для этого случая имеет вид:

Решая систему, находим:

Корни этого уравнения

и соответственно:

Закон движения и условие нахождения тела на Земле правильно указали два момента времени: в первый раз тело было на Земле, когда его бросали, и во второй раз — когда оно упало. Заметим, что полное время движения тела оказалось в два раза больше времени подъема тела на наибольшую высоту. Другими словами, время подъема оказалось равным времени спуска. При спуске тело в обратном порядке повторило то же самое движение, которое оно совершило при подъеме. Поэтому неудивительно, что в момент падения скорость тела равна по модулю начальной скорости, но направлена вниз

Все решение задачи также может быть полностью проведено графически. На рис. 1.83 приведены графики закона движения и зависимости скорости от времени. На графиках отмечены положения тела, соответствующие всем трем случаям. Сопоставляя данные графиков с алгебраическими решениями, легко убедиться в справедливости всех ранее сделанных выводов.

При разборе обоих примеров была использована та последовательность действий, которая была разобрана в § 20. Целесообразно сопоставить ход рассуждений при разборе этих примеров с общим порядком действий, справедливым для решения всех задач кинематики.