V. РАБОТА. ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

§ 88. Еще один путь преобразования законов Ньютона

В задачах, рассмотренных в § 76, требовалось установить зависимость конечных скоростей тел от действия сил. Для решения таких задач были" просуммированы действия "сил во времени. При этом были введены новые понятия импульса силы и количества движения тела. Был получен один из важнейших общих законов природы — закон сохранения количества движения. Оказалось, что этот закон имеет очень широкую область применения, далеко выходящую за границы механики.

К решению задачи об установлении зависимости между действием силы и скоростями тела можно подойти и другим путем. Для того чтобы у тела появилась какая-то конечная скорость, необходимо не только действие на него силы, но и движение тела в направлении действия этой силы на некоторое расстояние Если второе условие не соблюдается, то сколько бы времени сила ни действовала, никакого приращения скорости не произойдет. Следовательно, можно попробовать установить прямую зависимость изменения скорости тела от силы и расстояния, пройденного телом во время действия этой силы.

Решим следующую задачу. Пусть тело массы имеет некоторую начальную скорость (рис. 5.1). На тело в направлении скорости действует постоянная сила Под действием этой силы тело проходит расстояние

Рис. 5.11.

Найдем, как будет связана конечная скорость тела с силой и расстоянием пройденным телом.

Направления и совпадают, поэтому движение тела будет прямолинейным, сила будет создавать только тангенциальное ускорение и вызывать изменения только модуля вектора скорости. Так как постоянна по модулю, то движение будет равнопеременным. Ускорение в таком движении может быть выражено через начальную и конечную скорости формулой (§ 23)

Это выражение будет справедливо для любого времени движения.

Расстояние пройденное телом в равнопеременном движении, может быть выражено через среднюю путевую скорость, равную среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:

Напишем уравнение второго закона Ньютона:

Для решения поставленной задачи умножим обе части этого уравнения на расстояние которое пройдет тело в направлении действия силы:

В левой части уравнения мы получили нужную величину, содержащую силу и расстояние, пройденное телом в направлении силы.

Пользуясь найденными выше выражениями для выразим произведение через скорости:

Подставляя это выражение в уравнение окончательно найдем:

или

где

Таким образом, в результате действия силы на расстоянии движение изменилось так, что произошло приращение величины . С помощью этой величины и устанавливается связь

между силой и конечной скоростью тела. В связи с тем, что оба найденных нами выражения имеют особо важное значение, они получили особые названия. Произведение называется работой силы. Выражение называется кинетической энергией тела.