§ 22. Как количественно определить изменения скорости? Ускорение

Как мы увидим дальше, различные действия тел друг на друга вызывают изменения их скоростей. Поэтому оказывается необходимым введение еще одной кинематической величины, количественно определяющей изменения, которые могут происходить с вектором скорости во время движения.

Прежде всего вспомним, что может происходить с вектором скорости во время движения. Допустим, что нам известно движение автомобиля на дороге. Чертеж траектории и график закона его движения даны на рис. 1.63 и 1.64. Известно, что автомобиль в момент находился в точке А траектории. Через некоторое малое время он оказался в точке В. Проследим, что произошло с вектором скорости за время

В § 16 было сказано, что вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в точках, через которые в данный момент проходит тело. Как видно из чертежа траектории, касательные к траектории в точках имеют разные направления. Следовательно, за время произошло изменение направления вектора скорости автомобиля.

Кроме того, в § 16 было показано, что закон движения полностью определяет модуль и знак скорости независимо от формы траектории. График закона движения всегда позволяет найти значения скоростей для любых моментов времени. Легко увидеть из графика (рис. 1.64), что автомобиль на участке траектории за время разгонялся и скорость его непрерывно росла. Таким образом, за время произошло также изменение модуля вектора скорости автомобиля.

Итак, у вектора скорости во время движения могут меняться и направление, и модуль. Для определения этих изменений вектора скорости оказывается необходимым рассмотрение траектории и закона движения.

Рис. 1.24.

Рис. 1.63.

По форме траектории определяют изменения направления скорости, а по закону движения — изменения ее модуля.

Для количественного определения всех этих изменений необходима новая величина. Такой величиной является полное ускорение движения тела: физическая величина, которая служит количественной мерой всех изменений вектора скорости, называется полным ускорением движения тела.

Далее будет показано, что ускорение — вектор, поэтому обозначим его символом а.

Как было показано, определение ускорения а в общем виде требует проведения одновременных расчетов по траектории и по закону движения и является довольно затруднительным делом. Такого расчета мы проводить не будем, а воспользуемся результатами рассмотрения примера с движением автомобиля.

Мы уже знаем, что модуль и направление являются независимыми характеристиками вектора скорости (§ 16). Это дает нам право утверждать, что полное ускорение всегда может быть представлено как сумма двух независимых частей, одна из которых определяет изменение направления скорости, а другая — изменение ее модуля. Эти части полного ускорения получили свои особые названия.

Та часть полного ускорения, от которой зависит изменение модуля вектора скорости, называется тангенциальным ускорением.

Значение тангенциального ускорения может быть полностью определено по закону движения тела или по графику зависимости скорости от времени. При этом полученные результаты будут справедливы для движения по любым траекториям.

Та часть полного ускорения, от которой зависит изменение направления вектора скорости, называется нормальным ускорением.

Мы видели, что изменение направления вектора скорости зависит от формы траектории тела. Значение нормального ускорения всегда может быть определено по траектории движения тела и по модулю его скорости.

Далее будет показано, что тангенциальное и нормальное ускорения также являются векторами. Будем обозначать их соответственно

Отметим, что, даже не проводя никаких расчетов, мы уже сейчас можем назвать полные ускорения для ряда отдельных случаев.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Тело движется прямолинейно по произвольному закону. В § 18 мы показали, что при этом направление скорости неизменно и совпадает с траекторией. Все изменения скорости определяются только изменением ее модуля. Следовательно, в прямолинейном движении нормальное ускорение всегда равно нулю, и полное ускорение все время совпадает с тангенциальным:

Пример 2. Тело движется равномерно по траектории произвольной формы. По определению равномерного движения модуль скорости в таком движении постоянен. Все изменения скорости определяются только изменением ее направления. Следовательно, в равномерном движении по любой траектории тангенциальное ускорение всегда равно нулю, и полное ускорение все время совпадает с нормальным:

Пример 3. Тело совершает равномерное прямолинейное движение. Из предыдущих примеров ясно, что в этом случае тангенциальное, нормальное, а вместе с ними и полное ускорение будут равны нулю:

Используя возможность независимого рассмотрения тангенциального и нормального ускорений, проведем их расчет раздельно.