VI. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛ

Нами полностью закончено рассмотрение задачи о поступательном движении твердых тел. Теперь можно обратиться к решению задачи о вращательном движении твердых тел.

Вернемся к § 33, в котором было показано, что любое движение тела может быть представлено Как сумма поступательного и вращательного движений. Там также было сказано, что знания движения одной точки недостаточно для создания полной картины вращения тела, что в этом случае нужно искать другие способы описания движений, которые давали бы одновременно сведения о поведении всех точек вращающегося тела. Нужно найти такие величины, которые были бы одинаковы для всех точек вращающегося тела и определяли поведение тела в целом.

Отметим сначала две особенности задачи о вращении тел.

1. При решении задачи о вращении мы не интересуемся траекториями движения отдельныхдочек и считаем известными направления векторов скорости и тангенциального ускорения. Действительно, если задано положение оси вращения, то этим определены "траектории всех точек вращающегося тела. Все они будут концентрическими окружностями. Векторы скорости и тангенциального ускорения будут направлены по касательным к этим окружностям.

2. При решении задачи о вращении мы не рассматриваем вопрос о нормальных ускорениях и связанных с ними внутренних напряжениях в телах. Расчет этих величин производится теми же способами, которые были установлены для расчета поступательных движений.

Имея в виду эти условия, ответим прежде всего на вопрос: Как определить конечный результат любого вращения тела?

§ 106. Угловое перемещение тела

Вначале рассмотрим задачу о вращении тела вокруг неподвижной оси. Положение каждой точки тела в любой момент определяется ее радиус-вектором (§ 3). Для простоты будем рассматривать только точки, лежащие в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Условимся отсчитывать радиус-векторы от точки пересечения оси вращения с выбранной плоскостью. Эту точку будем называть центром вращения О (рис. 6.1).

При таком выборе точки начала отсчета радиус-векторы всех точек тела во время вращения не будут изменять свою длину, будут изменять только свои направления. При этом углы поворота радиус-векторов будут одинаковы для всех точек тела. Знание углов поворота сразу дает сведения об изменениях положений всех точек тела, которые произошли в результате вращения. Поэтому угол поворота радиус-вектора и приняли за основную величину в кинематике вращательных движений тел.

Угол поворота радиус-вектора произвольной точки вращающегося тела называется угловым перемещением этого тела.

Угловое перемещение тела определяет собой конечный результат любого вращательного движения. Зная угловое перемещение, всегда можно рассчитать расстояния, которые пройдет за время вращения тела любая его точка.

Допустим, что за время вращения тело повернулось на угол (рис. 6.2). Некоторая точка тела А, находящаяся на расстоянии от оси, за это время пройдет длину пути равную длине дуги Угол является центральным углом окружности радиуса поэтому легко найти связь этого угла с длиной дуги Если измерять в радианах, то, как известно из геометрии,

В § 12 было установлено правило знаков для длины пути. Так же устанавливают правило знаков и для угловых перемещений. Можно, например, условиться считать угловое перемещение положительным, если тело от начального положения поворачивалось по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если поворот происходил в противоположном направлении.

Для того чтобы иметь представление о всех особенностях вращательного движения, устанавливают зависимость между угловыми

перемещениями и временем, так же как это было сделано для длины пути в § 13.

Вид зависимости углового перемещения от времени называется законом вращательного движения.

Закон вращательного движения может быть задан в виде таблицы, формулы или графика. По форме закона вращательные движения разделяют на равномерные и неравномерные.

Рис. 6.3.

Равномерным вращением называют такое вращение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на равные углы.

Очевидно, график такого равномерного вращения будет иметь вид прямой (рис. 6.3). Этот график совершенно аналогичен графику для равномерного поступательного движения.