§ 77. Упругий удар шара о стенку

В качестве примера практического применения новой формы второго закона Ньютона рассмотрим задачу об абсолютно упругом ударе шара массой о неподвижную стенку (рис. 4.11).

Допустим, что шар до удара имеет скорость и движется перпендикулярно стенке. Нужно найти скорость с которой он будет двигаться после удара, и импульс, который получит стенка во время удара.

Рассмотрим отдельно последовательные стадии удара.

С момента соприкосновения в шаре и стенке начнут развиваться деформации. Вместе с ними будут возникать постепенно возрастающие упругие силы действующие на стенку и на шар и тормозящие движение шара. Нарастание деформаций и сил прекратится в тот момент, когда скорость шара обратится в нуль:

Таким образом, для этой стадии удара мы знаем начальное и конечное значение количества движения шара и по ним можем определить импульс, полученный за это время шаром от стенки. Сила в это время меняет свое значение от нуля до некоторой максимальной

величины, поэтому выразить импульс прямо через силу довольно сложно. Введем так называемую среднюю силу: средней силой будем называть постоянную силу сообщающую телу такой же импульс, какой сообщает ему переменная сила за то же время.

Для импульса средней силы, которая действовала на шар при его деформации, теперь можно записать уравнение второго закона Ньютона: Так то окончательно получим:

Изменение количества движения шара за первую половину удара и импульс, полученный шаром, оказываются равными начальному количеству движения, взятому с обратным знаком.

Во время второй половины удара после полной остановки шара упругие силы заставят его двигаться в обратном направлении. Деформации, а вместе с ними упругие силы, начнут уменьшаться. При этом все значения деформаций и сил повторятся в обратном порядке за такое же время. Следовательно, во время второй стадии удара шар получит от стенки дополнительно такой же импульс как и на первой стадии. Теперь подставим в уравнение второго закона Ньютона найденные значения импульса и скоростей, соответствующие второй половине удара. Так как то получим

Приравнивая левые части выражений, записанных для первой и второй половин удара, находим:

После упругого удара о стенку по нормали шар будет иметь скорость равную по модулю начальной скорости и противоположно ей направленную. Полный импульс, полученный шаром за все время удара, и полное изменение количества движения будут равны

Рис. 4.11.

По третьему закону Ньютона стенка получит от шара такой же импульс но направленный в противоположную сторону.

Допустим, что стенка испытывает за одну секунду таких ударов. Во время каждого удара стенка получит импульс Всего за секунду стенка получит импульс Зная этот импульс, можно вычислить среднюю силу которая действует на стенку и создается ударами шаров. Полный импульс, полученный стенкой, будет

где время, в течение которого произошли ударов. Подставляя найдем, что за одну секунду на стенку будет действовать средняя сила

Рассмотренный пример особенно важен потому, что именно таким образом подсчитываются силы давления газа на стенки сосуда. Как вы узнаете в курсе молекулярной физики, давление газа на стенки сосуда возникает за счет импульсов, которые сообщают стенке при ударах быстро движущиеся молекулы газа. При этом предполагают, что каждый удар молекулы является абсолютно упругим. Проведенные нами расчеты полностью применимы к этому случаю. Вся трудность расчета давления газа состоит в правильном подсчете числа ударов молекул о стенки сосуда за единицу времени. Заметим также, что совпадение модуля силы с модулем импульса, сообщаемого этой силой за единицу времени, часто используется в решении многих практических задач.

Отметим, наконец, что в наших рассуждениях скрывается одно недосказанное предположение о том, что время, затраченное на создание деформаций во время удара, равно времени снятия деформаций. Немного позже мы докажем его справедливость.