§ 94. Работа силы тяжести

Рассчитаем работу, совершаемую силой тяжести, при движении тела по разным траекториям.

Допустим, что тело массы было поднято на высоту над поверхностью Земли. Определим работу, которую совершит сила тяжести в случае, когда это тело будет свободно падать по вертикали до поверхности Земли.

По направлению движения на тело будет действовать постоянная сила Под действием этой силы тело пройдет расстояние k. По определению работа этой силы будет равна

Предоставим телу возможность двигаться под действием силы тяжести по наклонной плоскости (рис. 5.12) под углом а к горизонту (трения нет). Вдоль наклонной плоскости на тело будет действовать сила Эта сила постоянна во все время движения. Расстояние пройденное телом по наклонной плоскости, может быть выражено через высоту к, на которой сначала находилось тело. Из треугольника видно, что

Зная силу и расстояние I, пройденное телом под действием этой силы, можно подсчитать работу А, совершенную силой тяжести при таком движении:

Значит, при движении по наклонной плоскости работа силы тяжести не зависит от угла наклона плоскости и по-прежнему равна произведению силы тяжести на разность высот, на которых находятся начальная и конечная точки движения:

Предоставим теперь телу возможность спускаться с высоты по какой-нибудь криволинейной траектории (рис. 5.13). Подсчитаем работу, которую совершит сила тяжести при таком движении тела.

Как мы знаем, любую траекторию с нужной точностью всегда можно представить в виде последовательности малых прямолинейных перемещений. Например, участок может быть представлен отрезком прямой.

Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

Рис. 5.14.

Каждый такой участок будет наклонной плоскостью малой длины. Как только что было доказано, работа силы тяжести на таком участке не зависит от угла наклона и будет равна произведению силы тяжести на разность высот точек А и В:

Это справедливо для всех участков криволинейной траектории. Поэтому полная работа, совершаемая силой тяжести при движении по любой произвольной криволинейной траектории, всегда будет равна произведению силы тяжести на разность высот начальной и конечной точек движения.

Этот результат имеет необычайно важное значение и может быть выражен так: работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, и определяется только начальным и конечным положениями тела.

Этот же результат может быть выражен и другим, еще более общим способом. Допустим, что тело массы спустилось из точки А в точку С по некоторой криволинейной траектории (рис. 5.14). Затем оно из точки С было поднято в точку А по траектории Сила тяжести при всех этих движениях совершала работу. На участке она совершила некоторую положительную работу, пропорциональную разности высот точек На участке (при подъеме с помощью посторонних сил) сила тяжести совершила отрицательную работу. Величина этой работы также пропорциональна разности высот точек

Если же подсчитать полную работу силы тяжести на участках и то окажется, что на такой замкнутой траектории она равна нулю. Поэтому найденное нами ранее важное положение о

независимости работы силы тяжести от формы траектории можно теперь сформулировать так: работа силы тяжести на любой замкнутой траектории всегда равна нулю.

Это замечательное свойство силы тяжести позволяет значительно упростить решение задач, связанных с расчетом работы этой силы. Таким свойством обладают и многие другие силы, например силы всемирного тяготения (частным случаем которых является сила тяжести), силы упругости, силы электрического поля, создаваемого неподвижными зарядами, и др.

Все силы, работа которых на замкнутой траектории равна нулю, получили название консервативных сил. Замечательное свойство таких сил состоит в том, что затраченную против них работу они полностью возвращают потом обратно при освобождении тела от удерживающих его связей.