§ 31°. Расчет криволинейного движения по координатам

Допустим, что требуется рассчитать какое-то сложное криволинейное движение. Расчет этого движения, как правило, оказывается математически очень сложным, а порой и просто невозможным.

Принцип независимого сложения в этом случае дает единственное средство для решения такой задачи. Он, как мы отметили в предыдущем параграфе, дает возможность рассматривать отдельные составные части любого движения независимо друг от друга. Например, он позволяет любое перемещение, скорость и ускорение разлагать на несколько составляющих векторов, направления которых можно выбирать произвольно.

Предположим, что у тела в какой-то момент времени была скорость (рис. 1.85). Ее можно заменить двумя скоростями и сказать, что тело одновременно совершало два движения: одно по горизонтали со скоростью а другое — по вертикали со скоростью Скорости (а значит, перемещения и ускорения) для всех последующих моментов времени тоже можно заменить горизонтальными и вертикальными составляющими этих скоростей. Другими словами, принцип независимого сложения движений позволяет заменить рассмотрение одного сложного криволинейного движения, происходящего в заданной системе отсчета, рассмотрением двух

Рис. 1.85.

Рис. 1.86.

независимых более простых движений, происходящих по двум разным направлениям в той же системе отсчета.

Эта возможность используется в методе координат. С этим методом вы уже знакомились при изучении предыдущих параграфов. Для примера рассмотрим одну из практически важных задач о движении тела, брошенного горизонтально и падающего на Землю. Именно эту задачу впервые решил Галилей, когда он открыл закон независимого сложения движений.

Итак, некоторому телу, находящемуся на высоте была сообщена начальная горизонтальная скорость После этого тело получило возможность свободно падать на Землю. Необходимо определить, когда и где тело упадет на Землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Будем рассматривать движение тела относительно Земли. Это будет неравномерное криволинейное движение, которое в целом рассчитать трудно. Поэтому, пользуясь принципом независимого сложения, разложим это движение на два независимых прямолинейных движения: по горизонтали и по вертикали. Движение по горизонтали будет равномерным со скоростью а движение по вертикали будет равноускоренным без начальной скорости (рис. 1.86).

Начало счета длин путей для обоих движений выберем в точке бросания и будем считать положительными направления: вправо для горизонтального движения и вниз — для вертикального. Начало отсчета времен будем считать совпадающим с моментом бросания.

Для расчетов возьмем декартову систему координат. Совместим начало координат с точкой начала отсчета длин путей. Ось X расположим горизонтально, а ось вертикально, как показано на рис. 1.86. Тогда координаты тела х и у будут просто равны длинам путей для горизонтального и вертикального движений соответственно.

В начальный момент времени для движения по горизонтали — начальное положение начальная скорость ускорение для движения по вертикали — начальное положение начальная скорость ускорение

При этих начальных условиях формулы закона движения примут вид: горизонтальное равномерное движение, равноускоренное движение.

Эти уравнения позволяют определить координаты падающего тела для любого момента времени. По ним легко затем находится и положение тела А на траектории для этого момента.

Для определения времени и места падения к этим уравнениям необходимо добавить третье уравнение, выражающее условие падения. В момент падения координата у должна стать равной высоте с которой падало тело, т. е. Подставляя это значение у

в первые два уравнения, можно найти, что время падения:

а расстояние до точки падения по горизонтали:

Знание законов изменения координат тела с течением времени позволяет рассчитать и траекторию тела. Действительно, выразим время движения через

и подставим это значение в уравнение для у. Получим

Это уравнение дает нам связь между координатами движущегося тела, справедливую для всех моментов движения тела, а по определению это и есть уравнение траектории. Оно указывает нам все те точки, в которых побывало тело во время движения. Полученное нами уравнение показывает, что тело двигалось по параболе, вершина которой находится в точке бросания.

Таким образом, мы убедились в том, что использование метода координат действительно значительно упрощает решение задач о криволинейных движениях, позволяет заменить их решение решением нескольких задач о прямолинейном движении. При этом мы получаем возможность полностью использовать тот порядок действий, который был нами найден ранее для прямолинейных движений.