§ 12. Как определить положение тела на траектории? Длина пути

Допустим, что траектория некоторого движения уже известна. Она дает нам представление одновременно о всем множестве точек, в которых побывало тело. Однако этого недостаточно. Нам нужно также уметь указывать положения тела на траектории для отдельных моментов времени. А для этого необходимо вводить какую-то новую величину.

Как известно, железнодорожники, для того чтобы указать расположение отдельных станций на дороге, поступают следующим образом: выбирают одну из конечных станций за начало отсчета длины железнодорожных путей, измеряют длину этих путей и расставляют вдоль дороги километровые столбы (рис. 1.41). Производится своеобразная разметка длины путей, по которой можно сразу определить положение любого объекта на железной дороге относительно точки начала отсчета длины путей. Пользуясь этой разметкой, легко вычислить и расстояния, которые будет проходить поезд на любом участке траектории. Например, поезд вышел из Орла и прибыл в Харьков. Длина пути от Москвы до Орла 400 км, а от Москвы до Харькова — 800 км. По заданным положениям начального и конечного пунктов определяется расстояние, пройденное поездом.

Рис. 1.41.

Оно равно разности длин путей до конечной и начальной точек движения, т. е. 400 км.

Точно так же поступают строители шоссейных дорог. Они выбирают пункт начала отсчета длины дорог, производят разметку шоссе километровыми столбами и тем самым дают нам возможность определить положение любого объекта на дороге.

До недавнего времени во дворе Главного почтамта в Москве стоял старый верстовой столб, на всех четырех сторонах которого был написан нуль. От этого столба начинался отсчет длины путей для всех шоссейных дорог, уходящих из Москвы.

Целесообразно воспользоваться описанным способом и для определения положения тела на траектории в любом механическом движении.

Условимся величину, которая определяет положение движущегося тела на заданной траектории, называть длиной пути. Для того чтобы найти значение длины пути, произведем следующие действия:

1) выберем на траектории некоторую точку, от которой будем отсчитывать длины путей; назовем ее точкой начала отсчета длин путей и обозначим символом «0» (рис. 1.42);

2) произведем разметку траектории в соответствии с выбранным Масштабом;

3) условимся считать расстояния, откладываемые на траектории в одну сторону от точки начала отсчета длин путей, положительными, а в другую — отрицательными.

После этого можно дать следующее определение: длиной пути называется величина, численно равная длине дуги траектории от точки начала отсчета длин путей до движущегося тела.

Знак длины пути определяется положением движущегося тела относительно точки начала отсчета длин путей. Будем обозначать длину пути буквой 5.

Отметим, что если нам заданы длины путей до всех точек траектории, то мы сможем не только определять положения тела на траектории, но и рассчитывать расстояния, которые тело проходит по траектории за время своего движения.

Действительно, если тело не меняет направления своего движения по траектории и начальная точка движения совпадает с началом отсчета длин путей, то расстояние I, пройденное телом за время движения, будет определяться модулем длины пути до конечной точки движения:

Если начальная точка движения не совпадает с началом отсчета длин путей и тело движется в одну сторону, то расстояние I, пройденное телом за время движения, будет равно модулю разности длин путей до конечной и начальной точек движения (рис. 1.43):

Если же тело за наблюдаемое время меняет направление своего движения по заданной траектории, то расчет расстояний, пройденных телом, усложняется. В этом случае он производится раздельно по тем промежуткам времени, в течение которых тело не меняло направления своего движения.

Рис. 1.42.

Рис. 1.43

Рис. 1.44.

Установим, какая связь существует между изменениями длин путей и векторами перемещений движущегося тела.

Допустим, что во время движения тело совершило физически малое перемещение (рис. 1.44). (Мы уже знаем, что при таком движении вектор перемещения достаточно точно совпадает с соответствующей частью траектории.) При этом тело из точки длина пути до которой перейдет в точку длина пути до которой т. е. перемещение вызовет изменение длины пути, равное

С той же точностью, с какой вектор совпадает сдугой траектории, изменение длины пути будет равно модулю соответствующего вектора перемещения взятому с нужным знаком:

Знаки плюс и минус должны выбираться в соответствии с принятым условием о положительных и отрицательных направлениях отсчета длин путей.

Таким образом, при любых движениях малое приращение длины пути всегда равно модулю соответствующего вектора перемещения, взятому с нужным знаком.