§ 96°. Работа сил всемирного тяготения

Расчет работы сил всемирного тяготения является более трудной задачей, чем расчет работы силы упругости. Это связано со значительно более сложной формой зависимости сил тяготения от расстояний между телами.

Сила упругости меняется прямо пропорционально перемещению конца пружины. Именно это позволило при расчете работы силы при малом перемещении (рис. 5.21) использовать среднее арифметическое значение силы:

Сила всемирного тяготения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между телами:

В этом случае для расчета работы уже нельзя использовать среднее арифметическое от значений силы на концах интервала

Воспользуемся для расчета работы силы всемирного тяготения графиком, представленным на рис. 5.22. Допустим, что сначала тело массы находилось на расстоянии от тела массы Предоставим телу возможность передвинуться вдоль радиуса под действием силы тяготения на малое расстояние После этого тело окажется на расстоянии от тела

При таком движении сила тяготения совершит работу численно равную заштрихованной площади на рис. 5.22. Так как направление перемещения совпадало с направлением силы, то работа может быть представлена формулой

Напомним, что некоторое значение силы тяготения, постоянное для интервала

и удовлетворяющее требованиям § 90. Взять для значение, равное среднему арифметическому от значений сил при и нельзя. Как видно из рис. 5.22, мы получим при этом явно завышенное значение для работы силы тяготения.

Рис. 5.22.

Можно доказать, что для расчета работы сил всемирного тяготения, подчиняющихся закону обратных квадратов, правильным будет брать значение силы соответствующее среднему геометрическому значению соответствующее . С такими средними геометрическими значениями величины вы знакомились в курсе математики. Итак, для расчета работы при малом перемещении мы можем использовать выражение для силы всемирного тяготения в виде

Подставляя значения в выражение для работы, получим

или окончательно:

Еще раз обратим внимание на то, что подсчитывалась работа самих сил всемирного тяготения при сближении взаимодействующих тел. Эта работа оказалась положительной. По условию следовательно:

Если мы хотим развести тела друг от друга, то должны своими силами совершить такую же работу. При разведении тел силы всемирного тяготения будут совершать отрицательную работу. При таком движении следовательно,

Пользуясь полученным выражением, можно подсчитать работу, которую совершат силы всемирного тяготения при сближении двух тел на заданное расстояние Пусть сначала тела находились на таком большом расстоянии, что силы были исчезающе малы, т. е. допустим, что начальное Эта означает, что При этом будет стремиться к некоторому значению характерному для заданного расстояния между телами

Итак, работа сил всемирного тяготения при сближении двух тел от бесконечно большого до заданного расстояния будет равна

т. е. эта работа определяется только положением конечной точки движения.

В качестве примера рассчитаем работу, которую совершат силы земного притяжения, когда какой-нибудь метеор массы будет ими захвачен и приведен на поверхность Земли. Для определения этой работы нужно подставить в найденную нами формулу для А значение массы Земли и ее радиуса

Для того чтобы исключить из формулы обратимся к закону всемирного тяготения. Сила земного притяжения на поверхности Земли (т. е. сила тяжести) может быть определена двумя формулами (§ 70):

Приравнивая два выражения, получим

Подставляя значение в формулу для работы, получим

Если принять радиус Земли то окажется, что при захвате метеора массой сила земного притяжения совершит работу, равную джоулей. Эта работа равна той энергии, которую израсходуют 170 электрических лампочек по 100 ватт каждая за час горения.

Снова вернемся к основной формуле работы сил всемирного тяготения. Она замечательна также тем, что работа оказалась зависящей только от начального и конечного положений движущегося тела. Однако при доказательстве было рассмотрено только одно перемещение вдоль радиуса.

Будет ли изменяться значение работы при движении по другим траекториям?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим переход тела по траектории (рис. 5.23). По-прежнему будем считать достаточно малым.

Подсчитаем вначале работу сил всемирного тяготения на отрезке

Рис. 5.11.

Рис. 5.24.

Рис. 5.25.

Сила направлена по радиусу, и ее проекция на направление отрезка будет равна Как видно из рисунка, длина отрезка равна Работа силы на отрезке траектории будет

Оказалось, что работа на отрезке траектории равна работе при перемещении по радиусу, т. е. работа не зависит от угла наклона отрезка

Также нетрудно увидеть, что работа сил всемирного тяготения на отрезке траектории равна нулю. Действительно, в силу малости перемещения, хорда совпадает с элементом окружности радиуса т. е. она перпендикулярна радиусу. Сила и перемещение перпендикулярны друг другу. Как мы знаем, работа силы в этом случае равна нулю.

Проводя такие же рассуждения, как и в § 94, можно показать (рис. 5.24), что при любых конечных перемещениях по произвольной траектории работа сил всемирного тяготения не зависит от формы траектории и полностью определяется начальным и конечным положениями тел.

Следовательно, можно считать доказанным, что если собственные размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними (т. е. взаимодействующие тела можно считать точками), то работа сил всемирного тяготения всегда равна

при движении тел по любым траекториям.

Точно так же, как в § 94, можно заставить тело совершить некоторое движение по замкнутой траектории (рис. 5.25).

Из наших рассуждений следует, что работа на участке будет равна работе на участке взятой с обратным знаком:

или

Мы получаем теорему о том, что силы всемирного тяготения обладают тем же самым свойством, что и силы тяжести и силы упругости (§§ 94,95): работа сил всемирного тяготения на любой замкнутой траектории равна нулю.

Силы всемирного тяготения являются консервативными силами.