§ 83. Порядок действий при решении задач на применение закона сохранения количества движения

До сих пор мы решали задачи на расчет движения только одного отдельно взятого тела. В задачах же на применение законов сохранения рассматривается поведение системы тел. Как правило, по известному начальному состоянию движения системы приходится определять состояние ее движения для некоторого другого момента после заданного взаимодействия. Это влечет за собой изменения в порядке действий и рассуждений при решении задач.

Рассмотрим этот порядок действий на конкретном примере.

Тележка с песком массой катится без трения по горизонтальным рельсам со скоростью (рис. 4.21).

Рис. 4.21.

Шар массой летит горизонтально навстречу тележке со скоростью Он попадает в тележку и застревает в песке. Определить скорость и, с которой шар и тележка будут двигаться после падения шара на тележку.

На первом этапе решения таких задач прежде всего (как и раньше) производят качественный анализ характера возможных движений и особенностей взаимодействия тел.

В данной задаче оба тела, составляющие систему, движутся по горизонтали как до, так и после взаимодействия. Взаимодействие шара и тележки представляет собой неупругий удар. После удара оба тела движутся с общей скоростью и, которую нужно определить. В горизонтальном направлении на тележку и шар не действуют никакие внешние силы. Следовательно, для расчета движений по горизонтали к системе шар — тележка можно применять закон сохранения количества движения.

На втором этапе решения выбирают два момента времени, для которых подсчитывают количества движения.

Первый момент до взаимодействия тел, второй момент после взаимодействия. В нашей задаче примем за первый — момент до встречи шара с тележкой, а за второй — момент начала общего движения со скоростью и после удара.

Третий этап состоит в выборе и указании положительных и отрицательных направлений для всех векторов.

В рассматриваемом случае все векторы (скоростей и сил при ударе) направлены горизонтально. Условимся за положительное считать направление скорости тележки до удара. Все известные величины будем вводить в уравнения с открыто показанными знаками. (Заметим, что скорость и неизвестна ни по модулю, ни по направлению.)

На четвертом этапе записывают количества движения всех тел системы до и после взаимодействия: составляют уравнения

закона сохранения количества движения и проверяют полноту полученной системы уравнений.

В нашей задаче до удара количества движения: шара тележки После удара количества движения будут соответственно равны

Запишем эти результаты в виде таблицы:

Составим уравнение закона сохранения количества движения:

Закон сохранения количества движения дал одно уравнение, неизвестное и — тоже только одно. Система полная, можно начинать алгебраический расчет.

Если бы число неизвестных оказалось больше числа уравнений, то на пятом этапе нужно было бы искать дополнительные уравнения. Эти уравнения должны были бы выражать те же условия, о которых говорилось в §§ 20 и 55.

Шестой и седьмойэтапы решения (алгебраический и арифметический расчеты) выполняются так же, как и в §§ 20 и 55.

Разрешая полученное уравнение относительно и, найдем

Если то скорость и будет положительной. Это означает, что после удара тележка не изменит направления своего движения, но будет катиться с меньшей скоростью. Если же то Следовательно, после удара тележка покатится в обратную сторону. Если то тележка после удара остановится.

Результаты числового расчета дают:

Таким образом, в нашем случае после удара тележка будет катиться в прежнем направлении с малой скоростью

Напомним еще раз, что перед началом числового расчета все заданные в условии задачи величины должны быть приведены к одной системе единиц.

Единицей количества движения в системе СИ будет килограмм-метр в секунду . В системе СГС - грамм-сантиметр в секунду .