§ 111°. Момент инерции тела

Влияние собственных свойств тела на изменение вращательного движения оказывается значительно более сложным, чем в поступательном движении.

Третий и четвертый опыты (§ 109) показали, что инертность тела по отношению к вращательному движению, ее влияние на угловое ускорение зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена относительно оси вращения. Последнее означает, что на инертность во вращательном движении влияют форма и геометрические размеры тела, его расположение относительно оси вращения, особенности распределения массы по объему тела.

Величина, которая определяет инертность тела по отношению к вращательному движению, называется моментом инерции тела.

Момент инерции одновременно учитывает влияние на угловое ускорение массы тела, его формы, геометрических размеров,

Рис. 6.7.

Рис. 6.8.

расположения относительно оси вращения и распределения массы по объему тела.

Если взять несколько тел одинаковой массы, но разной формы (стержень, кольцо, диск) и действовать на них равными моментами (рис. 6.7), то тела будут приобретать различные угловые ускорения. Их моменты инерции будут неодинаковыми, потому что у них разная форма. Массы этих тел располагаются по-разному относительно оси и по-разному влияют на изменение вращения.

Точно так же, если брать одно и то же тело и давать ему вращаться вокруг разных осей, то моменты инерции этого тела относительно разных осей тоже будут разными. Например, стержень вращается в одном случае вокруг оси, проходящей через его середину (рис. 6.8, а), а в другом — вокруг оси, проходящей через его конец (рис. 6.8, б). Под действием одного и того же момента силы стержень в этих случаях приобретает разные угловые ускорения. Это произойдет потому, что масса стержня располагается относительно оси вращения по-разному.

Все это делает количественное определение моментов инерции очень сложным. Для их расчета создан специальный и громоздкий математический аппарат. Но и с его помощью не всегда удается провести расчеты до конца. Для тел особо сложной формы приходится находить моменты инерции только опытным путем. Мы ограничимся рассмотрением только простейших случаев.

Возьмем небольшое тело массы и укрепим его на конце невесомого стержня длины (рис. 6.9). Заставим это тело вращаться вокруг оси 00. Допустим, что размеры этого тела очень малы по сравнению с расстоянием от тела до оси вращения. Тогда размерами этого тела можно пренебречь и считать, что вокруг оси вращается точка массы находящаяся на расстоянии от оси 00.

Проведем с этим телом опыты, подобные третьему и четвертому опытам § 109. При этом мы убедимся, что инертность тела при вращении растет прямо пропорционально массе и квадрату расстояния от тела до оси вращения. Поэтому момент инерции массы , находящейся на расстоянии от оси, приняли равным

Возьмем теперь кольцо массы и радиуса (рис. 6.7, б). Пусть толщина кольца очень мала по сравнению с его радиусом и ею можно пренебречь. Все части кольца находятся на одном и том же расстоянии от оси вращения. Заставим кольцо вращаться, вокруг оси 00.

Рис. 6.9.

Влияние одинаковых элементов массы на момент инерции будет одним и тем же, а действие всей массы кольца можно рассматривать как действие массы одной точки, находящейся на расстоянии от оси вращения. Поэтому можно утверждать, что момент инерции кольца при вращении вокруг выбранной оси 00 равен массе кольца, умноженной на квадрат радиуса этого кольца:

Возьмем теперь сплошной однородный диск такой же массы и такого же радиуса как и у кольца (рис. 6.7, в). Его момент инерции относительно оси 00 должен быть меньше, чем у кольца.

Действительно, у диска разные элементы массы будут находиться на разных расстояниях от оси вращения. Значительная часть массы будет находиться близко от оси вращения на расстоянии, много меньшем, чем радиус диска. Действие этой части массы на углбвые ускорения будет значительно слабее. Поэтому момент инерции такого диска в целом должен быть меньше момента инерции соответствующего кольца.

Расчет показывает, что момент инерции однородного диска относительно оси 00 равен

Здесь масса диска, радиус диска.

Как следует из приведенных примеров, единица момента инерции тела в системе СИ имеет наименование килограмм-метр в квадрате а в системе грамм-сантиметр в квадрате

Теперь, когда введено понятие момента инерции, можно обобщить результаты третьего и четвертого опытов (§ 109): угловые ускорения при действии заданных моментов сил обратно пропорциональны моменту инерции тела: