§ 54. Две основные задачи динамики

Теперь, когда найдена полная система законов динамики, можно сформулировать две основные задачи, которые решаются в динамике.

Задача 1 (прямая). По известным движениям тел определить силы, которые необходимы для создания таких движений.

Задача 2 (обратная). По известным силам и начальным условиям определить ускорения и рассчитать движения тел.

Обе задачи имеют одинаково важное значение и встречаются также одинаково часто в различных областях науки, инженерного дела и в жизни.

Большое количество простейших примеров обратной задачи мы рассматривали в предыдущих параграфах. Напомним некоторые из них.

Самолет совершает посадку. Известны все силы, тормозящие его движение. Нужно определить длину пробега самолета до полной остановки. Или необходимо определить длину тормозного пути автомобиля, имевшего некоторую начальную скорость.

Артиллерист знает начальную скорость снаряда и все силы, действующие на снаряд во время полета. Для того чтобы попасть точно

в цель, необходимо по этим данным рассчитать траекторию полета снаряда.

Известны силы всемирного тяготения (гравитации), действующие между Солнцем и всеми телами Солнечной системы. Необходимо полностью рассчитать движения планет.

Во всех этих случаях известны силы, действующие на тело, и по ним нужно рассчитать возникающие движения тела. Это и есть обратная задача динамики.

С прямой задачей значительно чаще сталкиваются инженер-конструктор и ученый-исследователь.

При создании любой машины сначала определяют виды тех движений, которые должны совершать отдельные части и детали машины. После этого рассчитывают те силы и напряжения, которые будут действовать на каждую из деталей. Только после определения этих сил по уже известным движениям деталей инженер может выбрать нужные конструкции деталей.

Хорошо известно, что при полете спутников непрерывно ведутся очень тщательные траекторные измерения. Это необходимо не только для управления полетом спутника. Форма траектории и ее отклонения от расчетной орбиты зависят от величины сил притяжения спутника Землей в тех точках, через которые он проходит. А эти силы зависят от формы фигуры Земли и от того, где и как расположены в Земле тяжелые и легкие горные породы.

Таким образом, спутник во время полета формой траектории своего движения рассказывает нам о строении самой Земли. Чтобы расшифровать этот рассказ, надо решить задачу об определении сил, действующих на спутник, по известной скорости и траектории его движения.

Особенно важное значение прямая задача динамики приобрела в последнее время в электронике. Действительно, для того чтобы телевизор хорошо работал, необходимо сообщить электронам в телевизионной трубке определенную скорость, сфокусировать электронный пучок и заставить его перемещаться на экране телевизора по заданным траекториям и законам движения. Другими словами, инженеру-конструктору телевизионной трубки заранее задано движение электронов. И он по заданному движению рассчитывает, с какими силами и где должны действовать на электроны магнитные и электрические поля. Затем по результатам такого расчета он определяет все напряжения, подаваемые на трубку, и форму отдельных деталей трубки.

Такие же задачи возникают при создании многих других электронных приборов (магнитных ловушек для плазмы, плазменных генераторов и т. д.).

Самым простым примером прямой задачи динамики может служить отыскание ответа на вопрос, чему равна сила тяжести действующая на тело массы По закону Галилея все тела падают на Землю с одинаковым ускорением Значит, известны особенности движения тела при свободном падении. Зная ускорение

свободного падения можно по второму закону Ньютона найти силу тяжести, которая на него действует (сопротивление воздуха не учитываем). Итак, полагая получим

Это соотношение между массой тела и силой тяжести действующей на него, мы часто будем использовать при решении задач.

В дальнейшем мы часто будем встречаться с каждой из двух основных задачдинамики. Заметим, что нередко в одном и том же примере приходится встречаться сразу с обеими задачами. Рассмотрим простейший из таких примеров.

Два тела с массами связаны нерастяжимой легкой нитью и могут без трения скользить по горизонтальной плоскости. На первое тело действуют с силой направленной горизонтально (рис. 2.34). Определить ускорение а, с которым будут двигаться тела, и силу натяжения нити

В этом примере требуется сразу рассмотреть и прямую и обратную задачи. Сначала по заданному внешнему воздействию надо определить ускорение движения системы тел. Затем по найденному движению системы определить силы, действующие между отдельными телами.

Так как тела могут совершать движение только по горизонтали, то будем рассматривать силы, действующие горизонтально, и будем рассчитывать только их модули. На первое тело действует внешняя сила и сила натяжения нити направленная влево (рис. 2.34). Движение второго тела будет вызываться только силой натяжения нити

По условию задачи нить легкая, т. е. такая, что ее массой можно пренебречь. Поэтому мы можем считать, что сила натяжения будет во всех точках нити одинакова. Это значит, что силы, с которыми нить действует на оба тела, тоже можно считать численно одинаковыми. Так как направления векторов сил показаны на чертеже, то можно ограничиться алгебраическим расчетом ускорений и сил.

Будем считать для всех векторов направление вправо положительным и напишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из тел:

Рис. 2.34.

В системе двух уравнений только два неизвестных и задача решается до конца:

Обратим внимание на полученное выражение для силы натяжения нити Нить связывает между собой движения двух тел, она как бы передает движение от одного тела к другому. Поэтому силы натяжения таких нитей часто называют силами связи.

Важным в полученном выражении является то, что силы связи между отдельными телами системы зависят не только от внешних воздействий, но и от соотношения масс тел, между которыми эта связь действует.