3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

Для действительной лоренцевой метрики (т. е. метрики с сигнатурой и действительных материальных полей Ф действие будет действительным; следовательно, интеграл по траекториям будет осциллировать и не будет сходиться. С этим связана такая трудность: чтобы найти конфигурацию поля, которая отвечает экстремальному действию между данными начальной и конечной поверхностями, нужно решить гиперболическое уравнение с начальными и конечными граничными условиями. Но это некорректная задача: у нее может вообще не быть решений или их может оказаться бесконечное число, а если и будет какое-то решение, то оно не будет зависеть гладко от граничных значений.

В обычной квантовой теории поля в плоском пространстве-времени эту трудность преодолевают путем поворота оси времени на 90° по часовой стрелке в комплексной плоскости, т. е. заменяется на При этом в интеграл по объему от действия вводится множитель Например, для скалярного поля массы лагранжиан имеет вид

Поэтому функциональный интеграл

принимает вид

где — «евклидово» действие, причем для полей Ф, которые действительны в евклидовом пространстве, определяемом действительными Таким образом, интервал по всем таким конфигурациям поля будет экспоненциально подавлен и,

следовательно, должен сходиться. Далее, при замене мнимой координатой лоренцева метрика (сигнатура ) заменяется на евклидову При этом задача о нахождении экстремума действия становится корректной задачей о решении эллиптического уравнения с данными краевыми значениями.

Идея состоит в том, чтобы выполнить все интегрирования по траекториям в евклидовом секторе действительны) и затем аналитически продолжить против часовой стрелки в комплексной -плоскости в лоренцев сектор (сектор Минковского), где действительны. В качестве примера рассмотрим величину

где А — дифференциальный оператор второго порядка — четырехмерный лапласиан и — заданное поле-источник, которое убывает на больших евклидовых расстояниях. Интеграл по траекториям берется по всем полям Ф, которые убывают на больших евклидовых расстояниях. Символически можно записать в виде

где — единственный обратный к А оператор (функция Грина), который убывает на больших евклидовых расстояниях:

Мера инвариантна относительно трансляций Таким образом,

Тогда мы можем определить евклидов пропагатор (двухточечную функцию корреляций)

Фейнмановский пропагатор получается аналитическим продолжением против часовой стрелки в комплексной плоскости.

Следует подчеркнуть, что использование евклидова сектора позволяет задать вакуумное состояние требованием, чтобы поля Ф убывали при больших положительных и отрицательных значениях мнимого времени т. Операция упорядочения по времени, применяемая при определении фейнмановского пропагатора, автоматически воссоздается направлением аналитического продолжения из

евклидова пространства, поскольку если то является голоморфной функцией в нижней -полу-плоскости, т. е. положительно-частотной функцией (положительночастотная функция — это функция, голоморфная в нижней -полу-плоскости и убывающая при больших мнимых

Другим важным для последующего применением евклидова сектора является построение канонического ансамбля для поля Амплитуда распространения от конфигурации на некоторой поверхности в момент к конфигурации на некоторой поверхности в момент дается функциональным интегралом

Используя картину Шредингера, можно также записать эту амплитуду в виде

Положим и просуммируем по полному ортонормированному базису конфигураций Получим статистическую сумму

поля Ф при температуре где — энергия состояния Однако, согласно (23), можно также представить как евклидов интеграл по траекториям

где интеграл берется по всем полям Ф, которые действительны в евклидовом секторе и периодичны по мнимой координате времени с периодом Как и прежде, можно ввести источник У и получить функцию Грина функциональным дифференцированием по У в двух различных точках. Эта производная будет представлять собой двухточечную корреляционную функцию, или пропагатор, для поля Ф, но в данном случае не в вакуумном состоянии, а в каноническом ансамбле при температуре . В пределе, когда период стремится к бесконечности, этот тепловой пропагатор стремится к нормальному вакуумному фейнмановскому пропагатору.

Представляется разумным применить аналогичные идеи комплексификации к гравитационному полю, т. е. к метрике. Допустим, например, что рассматривается амплитуда перехода от метрики на поверхности к метрике на поверхности , где поверхности асимптотически-плоские и разделены на бесконечности интервалом времени Как объяснялось в разд. 1, следует соединить и , времениподобной трубкой длины с очень большим радиусом. Тогда можно повернуть этот временной интервал в комплексную плоскость путем введения мнимой координаты

времени Индуцированная на времениподобной трубке метрика будет тогда положительно-определенной, так что мы будем иметь дело с интегралом по траекториям над областью М, на границе которой индуцированная метрика всюду положительно определена. Тогда интеграл по траекториям можно рассматривать как интеграл по всем положительно-определенным метрикам которые индуцируют на данную положительно-определенную метрику При том же выборе направления поворота в комплексную плоскость, как в плоской евклидовой теории, множитель появляющийся в элементе объема, превращается в так что евклидово действие становится равным

Проблема, возникающая из-за того, что гравитационная часть этого евклидова действия не является положительно-определенной, рассматривается в разд. 4.

Состояние системы определяется выбором граничных условий для метрик, по которым производится интегрирование. Например, представляется разумным ожидать, что вакуумное состояние будет соответствовать интегрированию по всем метрикам, которые асимптотически евклидовы, т. е. вне некоторого компактного множества они приближаются к плоской евклидовой метрике на Внутри этого компактного множества кривизна может быть большой, а топология — отличной от топологии

В качестве примера можно рассмотреть канонический ансамбль для гравитационных полей, содержащихся в сферической полости радиуса при температуре Т, путем интегрирования по траекториям по всем метрикам, которые заполняют область внутри границы, состоящей из времениподобной трубки радиуса которая периодически отождествляется с периодом в направлении мнимого времени.

При комплексификации пространственно-временного многообразия величины, которые комплексны в действительном лоренцевом секторе, и комплексно-сопряженные им величины приходится рассматривать как независимые величины. Например, заряженное скалярное поле Ф в действительном лоренцевом пространст-ве-времени можно описывать комплексным полем Ф и сопряженным ему полем При переходе к комплексному пространству-времени необходимо аналитически продолжать Ф как некоторое новое поле Ф, которое не зависит от Ф. То же самое относится к спинорам. В действительном лоренцевом пространстве-времени мы имеем нештрихованные спиноры которые преобразуются по , и штрихованные спиноры преобразующиеся по

комплексно-сопряженной группе . Комплексно-сопряженный нештрихованный спинор есть штрихованный спинор, и наоборот. При переходе к комплексному пространству-времени штрихованные и нештрихованные спиноры становятся совершенно независимыми друг от друга и преобразуются соответственно по независимым группам . Если делается аналитическое продолжение в сектор, в котором метрика положительно-определена, и накладывается ограничение, чтобы спиноры лежали только в этом секторе, то штрихованные и нештрихованные спиноры по-прежнему независимы, но группами преобразований становятся соответственно Например, в лоренцевой метрике тензор Вейля может быть представлен в виде

При комплексификации заменяется независимым полем . В частности, может быть метрика, в которой но Такую метрику называют конформно самодуальной, и для нее имеет место равенство

Метрика называется самодуальной, если

откуда следует

Комплексифицированное пространственно-временное многообразие М с комплексной самодуальной или конформно-самодуальной метрикой может допускать сектор, в котором метрика действительна и положительно-определена («евклидов» сектор), но не допускает лоренцева сектора, т. е. сектора, в котором метрика действительна и обладает сигнатурой