4.3. ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ

Свойства эфира (по крайней мере те свойства, за которые ответственно скалярное поле) полностью определяются оператором и топологией пространства-времени. При анализе взаимосвязи этих двух факторов (например, при изучении распределения собственных значений математики находят удобным ввести обобщение дзета-функции Римана. определяемой следующим образом:

Ряд в (62) должен вычисляться в тех областях комплексной плоскости где он сходится, тогда в остальных областях

определяется аналитическим продолжением. Сама должна рассматриваться как формальный интеграл по пространству-времени.

Определения (62) и (63) строго справедливы только при использовании безразмерных единиц (т. е. единиц, в которых так что безразмерны. В противном случае в эти определения необходимо ввести масштабный параметр. Мы опустим здесь этот параметр, а позднее кратко отметим, какие необходимы изменения (если они вообще необходимы), когда он вводится. Как легко видеть, дзета-функции связаны с функцией К:

Эти соотношения доставляют информацию об аналитической структуре . Интегрирование по частям в сочетании с аналитическим продолжением из области дает

откуда можно заключить, что, когда четное, имеет простые полюсы в точках а когда нечетное, — в точках никаких других сингулярностей

нет. Отметим, что

Представляет интерес исследовать последнее соотношение в частном случае Уравнения скалярного поля тогда конформно-инвариантны, и при изменении метрического тензора как легко показать,

откуда

В частности, Но из (68) получаем

откуда следует, что (n четное) конформно-инвариантно.