Главная > Общая теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.4. ОТФАКТОРИЗАЦИЯ КАЛИБРОВОЧНОЙ ГРУППЫ

Способ устранения избыточности из интеграла (108) с использованием калибровочного условия впервые был указан Фаддеевым и Поповым [35.1 Здесь мы будем придерживаться их метода с некоторыми усовершенствованиями. Пусть — произвольный элемент калибровочной группы (рассматриваемой как абстрактная группа) и пусть — канонические координаты Пусть — произвольное поле в Ф. Обозначим через поле, в которое переводится под действием Введем

где — дельта-функционал, — функционалы, построенные по канонической процедуре, описанной в предыдущем

разделе, матрица, определенная рядом (112), а интегрирование распространяется на всю калибровочную группу. Из-за присутствия дельта-функционала подынтегральное выражение «срабатывает» только в одной точке группы а именно в той точке, для которой равно единственному полю которое лежит на орбите, содержащей и выделено калибровочным условием (109):

Определитель появляющийся в (116), есть известная правоинвариантная мера на он удовлетворяет равенству

где групповое произведение и Его присутствие обеспечивает калибровочную инвариантность функционала А:

Вследствие этой калибровочной инвариантности легко вычислить А. Нужно лишь сдвинуть чтобы подынтегральное выражение «срабатывало» в единичном элементе Теперь все величины могут быть разложены в степенные ряды по Например, аргумент дельта-функционала принимает вид

откуда

где матрица с элементами

В более общем случае, когда не выбраны так, чтобы удовлетворять дифференциальному уравнению (110), определяется выражением

Теперь подставим в подынтегральное выражение (108) единицу в виде и поменяем порядок интегрирования; это дает

Мы видели что элемент объема калибровочно-инвариантен. (Напомним, что теперь также

калибровочно-инвариантны. Поэтому верхний индекс может быть приписан любому в подынтегральном выражении (124), если только данное не имеет уже его. Но тогда любое есть немое поле, и все можно опустить. Используя (121), мы немедленно получаем

где под интегралом заменено на из-за присутствия дельта-функционала и где

Таким образом, калибровочная группа отфакторизована и ее «объем» учтен в новой нормировочной постоянной Интегрирование в (125) ограничивается подпространством

Если не выбраны так, чтобы удовлетворять уравнению (110) (например, если мы следуем линейному калибровочному уравнению), может понадобиться видоизменить выражение (125). Например, если подпространство пересекает определенные орбиты более одного раза, то в подынтегральное выражение необходимо ввести множитель где — число пересечений орбиты, содержащей Намного более сложная проблема возникает в случае, когда некоторые из орбит вообще не пересечены. Если оказывается на одной из таких орбит, то обращается в нуль и выражение (124) теряет смысл. На границе между теми орбитами, которые пересекаются, и теми, которые не пересекаются, обычно имеет поведение типа точки ветвления, и матрица в этой области неограниченно растет. Возможно, что какая-то процедура аналитического продолжения дает возможность обойти эту точку ветвления, особенно если дельта-функционал в (125) представить в виде интеграла Фурье. Но это лишь программа для будущих исследований.

Метод ограничения полей конкретным подпространством можно применить также для доопределения операторов. Рассмотрим выражение (100). Оно строго справедливо лишь при условии, что функционал калибровочно-инвариантен. Если это не так, интеграл не определен, подобно интегралу Иначе говоря, матричные элементы можно определить только для калибровочноинвариантных операторов. Однако из заданного калибровочнонеинвариантного оператора можно построить калибровочноинвариантный оператор, определяя его следующим образом:

Здесь использован символ хронологического упорядочения, так что можно пренебречь некоммутативностью оператора как с так и с дельта-функционалом. Отметим, что из-за линейности действия калибровочной группы на поля не возникает никакой неопределенности с символом Вместе с тем следует иметь в виду, что в теории гравитации диффеоморфизмы могут переставлять поле весьма сложным образом. Соответственно хронологическое упорядочение, которое расставляет полевые операторы по значению одной только координаты постоянно сложным образом перестраивает «физические» поля по мере того, как в интеграле (127) пробегает по группе.

Подставляя (127) в матричный элемент (100) и следуя тем же рассуждениям, что и при переходе от (124) к (125), находим, что равенство

справедливо для любого функционала

1
Оглавление
email@scask.ru