5.4. ОТФАКТОРИЗАЦИЯ КАЛИБРОВОЧНОЙ ГРУППЫ

Способ устранения избыточности из интеграла (108) с использованием калибровочного условия впервые был указан Фаддеевым и Поповым [35.1 Здесь мы будем придерживаться их метода с некоторыми усовершенствованиями. Пусть — произвольный элемент калибровочной группы (рассматриваемой как абстрактная группа) и пусть — канонические координаты Пусть — произвольное поле в Ф. Обозначим через поле, в которое переводится под действием Введем

где — дельта-функционал, — функционалы, построенные по канонической процедуре, описанной в предыдущем

разделе, матрица, определенная рядом (112), а интегрирование распространяется на всю калибровочную группу. Из-за присутствия дельта-функционала подынтегральное выражение «срабатывает» только в одной точке группы а именно в той точке, для которой равно единственному полю которое лежит на орбите, содержащей и выделено калибровочным условием (109):

Определитель появляющийся в (116), есть известная правоинвариантная мера на он удовлетворяет равенству

где групповое произведение и Его присутствие обеспечивает калибровочную инвариантность функционала А:

Вследствие этой калибровочной инвариантности легко вычислить А. Нужно лишь сдвинуть чтобы подынтегральное выражение «срабатывало» в единичном элементе Теперь все величины могут быть разложены в степенные ряды по Например, аргумент дельта-функционала принимает вид

откуда

где — матрица с элементами

В более общем случае, когда не выбраны так, чтобы удовлетворять дифференциальному уравнению (110), определяется выражением

Теперь подставим в подынтегральное выражение (108) единицу в виде и поменяем порядок интегрирования; это дает

Мы видели что элемент объема калибровочно-инвариантен. (Напомним, что теперь также

калибровочно-инвариантны. Поэтому верхний индекс может быть приписан любому в подынтегральном выражении (124), если только данное не имеет уже его. Но тогда любое есть немое поле, и все можно опустить. Используя (121), мы немедленно получаем

где под интегралом заменено на из-за присутствия дельта-функционала и где

Таким образом, калибровочная группа отфакторизована и ее «объем» учтен в новой нормировочной постоянной Интегрирование в (125) ограничивается подпространством

Если не выбраны так, чтобы удовлетворять уравнению (110) (например, если мы следуем линейному калибровочному уравнению), может понадобиться видоизменить выражение (125). Например, если подпространство пересекает определенные орбиты более одного раза, то в подынтегральное выражение необходимо ввести множитель где — число пересечений орбиты, содержащей Намного более сложная проблема возникает в случае, когда некоторые из орбит вообще не пересечены. Если оказывается на одной из таких орбит, то обращается в нуль и выражение (124) теряет смысл. На границе между теми орбитами, которые пересекаются, и теми, которые не пересекаются, обычно имеет поведение типа точки ветвления, и матрица в этой области неограниченно растет. Возможно, что какая-то процедура аналитического продолжения дает возможность обойти эту точку ветвления, особенно если дельта-функционал в (125) представить в виде интеграла Фурье. Но это лишь программа для будущих исследований.

Метод ограничения полей конкретным подпространством можно применить также для доопределения операторов. Рассмотрим выражение (100). Оно строго справедливо лишь при условии, что функционал калибровочно-инвариантен. Если это не так, интеграл не определен, подобно интегралу Иначе говоря, матричные элементы можно определить только для калибровочноинвариантных операторов. Однако из заданного калибровочнонеинвариантного оператора можно построить калибровочноинвариантный оператор, определяя его следующим образом:

Здесь использован символ хронологического упорядочения, так что можно пренебречь некоммутативностью оператора как с так и с дельта-функционалом. Отметим, что из-за линейности действия калибровочной группы на поля не возникает никакой неопределенности с символом Вместе с тем следует иметь в виду, что в теории гравитации диффеоморфизмы могут переставлять поле весьма сложным образом. Соответственно хронологическое упорядочение, которое расставляет полевые операторы по значению одной только координаты постоянно сложным образом перестраивает «физические» поля по мере того, как в интеграле (127) пробегает по группе.

Подставляя (127) в матричный элемент (100) и следуя тем же рассуждениям, что и при переходе от (124) к (125), находим, что равенство

справедливо для любого функционала