4. ФИЗИКА ПРИ ОБЫЧНЫХ ЭНЕРГИЯХ

Условие асимптотической безопасности требует существования фундаментального масштаба энергии М: это значение при котором траектория приближается в пределах некоторого определенного расстояния к фиксированной точке Ниже мы увидим, что эта характерная энергия будет порядка планковской массы, ГэВ. Проблема, к которой мы обращаемся теперь, состоит в описании физических явлений при обычных энергиях, которые гораздо меньше чем М. В частности, мы хотим узнать, почему гравитационные взаимодействия на макроскопических расстояниях так хорошо описываются эйнштейновским лагранжианом — и почему слабые, сильные и электромагнитные взаимодействия должны при обычных энергиях так хорошо описываться перенормируемыми квантовыми полевыми теориями.

Рассмотрим сначала случай чистой гравитации с лагранжианом вида (8). Предположим, что теория является асимптотически безопасной, поэтому бесконечное множество связей должно обязательно лежать на траектории которая попадает в некоторую фиксированную точку при Из ренорм-групповых соображений предыдущего раздела следует, что физика при низких энергиях определяется поведением связей при Простейшая возможность для состоит в приближении в этом пределе к другой фиксированной точке. Далее, в предыдущем разделе мы видели, что в дополнение к всегда существует фиксированная точка в нуле. К тому же каждый член в лагранжиане (8) является неперенормируемым, поэтому каждое собственное значение матрицы при является положительным. Это означает, что фиксированная точка в нуле является полностью отталкивающей для но она, кроме того, является полностью притягивающей для в каком бы направлении мы ни двигались от нуля, мы остаемся на инфракрасной критической поверхности. Отсюда следует, что имеется по крайней мере конечная область вокруг нуля, в пределах которой любая траектория притягивается к началу при Мы не знаем, лежит ли ультрафиолетовая фиксированная точка в пределах этой области, но нет ничего неприемлемого в предположении, что лежит. При этом предположении мы можем заключить, что все обращаются в нуль для

(Здесь мы неявно предположили, что лагранжиан не содержит члена с космологической постоянной Такой член был бы сверхперенормируемым и поэтому соответствовал бы инфракрасному отталкивательному собственному вектору при Космологическая постоянная не требуется в качестве контрчлена в чистой гравитации, по крайней мере в схеме размерной регуляризации. Однако теории с массивными частицами будут, вообще говоря, требовать контрчлена с космологической постоянной, и есть что-то загадочное в том, почему А, например, не больше на сорок порядков, чем наблюдаемый верхний предел.)

Для близких к нулю, «петлевой вклад» в (20) пренебрежимо мал, и решение (12) становится просто

где — набор неизвестных постоянных интегрирования. Величины связаны друг с другом условием асимптотической безопасности, так что значение должно лежать на ультрафиолетовой критической поверхности фиксированной точки Для одномерной критической поверхности условие асимптотической безопасности оставляет только один свободный параметр фундаментальный энергетический масштаб М, поэтому все должны быть порядка М. То же самое верно, даже если размерность критической поверхности С больше единицы, при условии что параметров, определяющих траекторию не принимают исключительно больших или исключительно малых значений. Тогда мы приходим к выводу, что первоначальные связи до изменения масштаба (9) имеют порядок величины

В частности, (28) дает гравитационную константу порядка поэтому М должно быть порядка планковской массы

Теперь мы можем понять, почему гравитационные явления так хорошо описываются теорией Эйнштейна на макроскопических расстояниях. Рассмотрим связанную функцию Грина для системы гравитационных полей в точках с типичными пространственно-временными расстояниями Ультрафиолетовые расходимости устраняются перенормировкой бесконечного множества параметров связи, однако здесь существенно, что перенормированные параметры связи будут определяться в точках перенормировки с импульсами порядка а не При этом подходе интегралы в диаграммах Фейнмана будут начинать сходиться при импульсах порядка поэтому будет единственным размерным параметром в теории, отличным от самих параметров связи. Уравнения (28) и (29)

показывают, что константы связи в диаграмме с вершинами типа дают множитель, пропорциональный степени или где

поэтому из обычного размерного анализа ясно, что вклад такой диаграммы будет подавляться множителем

Таким образом, основными диаграммами для значений гораздо больших, чем планковская длина см, будут диаграммы с наименьшими значениями Размерность определяется как

где число производных и число гравитонных полей во взаимодействии типа Чтобы вычислить используем известные топологические соотношения

где Я? — число петель; I — число внутренних линий; — число внешних линий в диаграмме. Вместе с (30) и (32) они дают

Если не рассматривать никакого сверхперенормируемого космологического члена то гравитационными взаимодействиями с наименьшим числом производных являются взаимодействия, выводимые из эйнштейновского члена — для которых Следовательно, для любой заданной функции Грина с заданным числом внешних линий основными диаграммами для будут древесные диаграммы построенные только из эйнштейновского лагранжиана. Суммирование этих древесных диаграмм равносильно решению классических полевых уравнений; в частности, одногравитонная функция Грина в присутствии классического фонового распределения энергии и импульса удовлетворяет классическим полевым уравнениям Эйнштейна для гравитационного поля, создаваемого этим тензором энергии-импульса. Следующие поправки будут появляться как от диаграмм с одной петлей в чистой общей теории относительности, так и в равной степени от древесных диаграмм, содержащих одну вершину, возникающих из более высоких

взаимодействий или для которых Ультрафиолетовая расходимость в петлевом графике исключается контрчленом, который дают взаимодействия . Из уравнения (35) видно, что эти квантовые поправки к классической общей теории относительности подавляются множителем порядка , следовательно, полностью пренебрежимы на макроскопических расстояниях.

Кстати, из (35) видно, что даже вклады классических древесных диаграмм в заданную функцию Грина подавляются множителем, пропорциональным для каждой добавочной внешней гравитонной линии. Когда мы вычисляем метрику, создаваемую массой мы также получаем другой множитель для каждой связи этих внешних линий с массой. Причина, по которой обмен древесными диаграммами гравитонных линий при внешних линий оказывает обнаружимое влияние на движение планет, заключается как раз в том, что солнечная масса так велика, что уже не является полностью пренебрежимо малой величиной.

Приведенное выше обсуждение может быть непосредственно распространено на теории гравитации и материи по крайней мере в случае, когда не имеется никаких масс и никаких сверхперенормируемых или асимптотически свободных перенормируемых взаимодействий между материальными полями. (Например, она была бы уместна для теории гравитонов, фотонов и безмассовых электронов.) В такой теории фиксирования точка при нулевой связи является еще полностью притягивающей для поэтому, согласно нашим предыдущим аргументам, связи при обычной энергии будут иметь порядок величины

Физические явления при обычных энергиях будут полностью управляться перенормируемыми взаимодействиями, для которых поскольку все неперенормируемые взаимодействия с подавляются как степени , следовательно, полностью необнаружимы. Одна лишь гравитация составляет исключение: как мы видели, тот факт, что гравитация когерентно связана с каждой частицей в большом теле, подобном Солнцу, позволяет нам наблюдать ее макроскопические проявления, несмотря на ее собственную слабость.

Теории гравитации и материи, включающие массы или асимптотически свободные перенормируемые взаимодействия, требуют несколько большего внимания. Во-первых, могут быть частицы с массой порядка — например, имеются промежуточные векторные бозоны (почти столь же тяжелые) в некоторых суперобъединенных теориях слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий [18]. Такие частицы не вызывают здесь никаких проблем; в функциях Грина при обычной энергии любая внутренняя линия с массой М порядка может быть заменена рядом

неперенормируемых взаимодействий, полученным разложением пропагаторов тяжелых частиц:

(Здесь опять существенно, чтобы масштабы импульсов всех точек перенормировки были приняты величинами порядка Е, а не М, так чтобы интегралы сходились при импульсах ) Таким способом мы получаем эффективную полевую теорию, включающую только легкие частицы с массами, гораздо меньшими чем Эти частицы, конечно, содержат в себе все знакомые нам: гравитоны, фотоны, лептоны, кварки, промежуточные векторные бозоны, хиггсовские бозоны и глюоны [148, 149].

Теперь предположим, что эта эффективная полевая теория включает либо некоторые малые массы либо некоторые асимптотически свободные, перенормируемые взаимодействия, действующие между легкими частицами, либо и то и другое. В этом случае фиксированная точка в начале в пространстве константы связи не является больше полностью притягивающей для Однако мы можем теперь определить инфракрасно-притягивающую область, или даже инфракрасно-притягивающую точку. Обозначим масштабно переопределенные перенормируемые связи (включая массы) через а неперенормируемые связи — через Поскольку перенормируемые связи никогда не порождают бесконечностей, которые требуют неперенормируемых контрчленов, уравнения ренорм-группы для должны принимать вид

Кроме того, для петлевые вклады в Вдв становятся пренебрежимыми, так что

По определению является неперенормируемым взаимодействием, поэтому Таким образом, имеется по крайней мере конечная область на поверхности в пределах которой все собственные значения матрицы положительны. Это инфракрасно-притягивающая область (всякая траектория на по крайней мере конечном участке плоскости вокруг А притягивается к ней при ).

Кроме того, мы не знаем, лежит ли ультрафиолетовая фиксированная точка внутри области однако не столь уж неразумно

предположить, что лежит. На самом деле, это, по-видимому, может быть проверено экспериментально: имеется огромная область масштабов перенормировки ГэВ, внутри которой масштабно переопределенные неперенормируемые гравитационные связи чрезвычайно малы, а перенормируемые слабые, электромагнитные и «сильные» взаимодействия также имеют довольно малые связи, так что имеет положительные собственные значения Если предположить, что ультрафиолетовая фиксированная точка действительно лежит внутри области то мы можем снова заключить, что влияние неперенормируемых связей становится пренебрежимым при обычных энергиях. Более конкретно, в пределах области масштабов перенормировки, в которой все малы, непереопределенные масштабно связи опять будут порядка как в (28), где М — обычная постоянная интегрирования, связанная с масштабом перенормировки, при котором приближается к фиксированной точке Обычные значения гравитационных связей и другие неперенормируемые связи определяются в точке перенормировки с порядка массы типичной легкой частицы, где масштабно переопределенные связи (включая ) становятся как раз порядка единицы, поэтому эти обычные связи также будут порядка Мы можем, таким образом, отождествить М с планковской массой, как в снова сделать вывод, что влияние неперенормируемых связей при обычных энергиях будет подавляться, как степени