сдвигать. С другой стороны, при использовании правил Березина преобразования переменных и взятие гауссовых интегралов ведут к детерминантам, в точности обратным тем, которые дает стандартная теория. В частности, получаем
где С — некоторая (расходящаяся) постоянная. Этой формулой можно воспользоваться для того, чтобы представить интеграл (130) в виде
Бекки, Руэ и Стора (БРС) [4] обнаружили, что как экспонента, так и элемент объема 
в интеграле (139) инвариантны относительно совокупности преобразований, инфинитезимальные формы которых имеют вид
где 
— инфинитезимальная антикоммутирующая постоянная. Используя антикоммутативность переменных 
с учетом тождества (97) и определения (123) нетрудно убедиться в инвариантности экспоненты. Вычисляя якобиан Березина для преобразований БРС, находим, что элемент объема 
также инвариантен при условии, что выполняются уравнения (137). Прямым вычислением можно убедиться, что преобразования БРС образуют абелеву группу, если ограничиться лишь переменными 
Включение переменных 
нарушает групповое условие, если только не выполняется равенство 
Поля 
называют «духовыми» полями. Они не приводят к появлению физических квантов, но играют важную роль в теории, особенно при введении так называемого производящего функционала. Первоначальная теория производящего функционала принадлежит Зинн-Жюстену; мы будем следовать изложению этой теории, данному в работе [60] и примененному к случаю, когда 
нелинейны.
Начнем с замены экспоненты в формуле (139) на
где
и с обобщения выражения (133):
Здесь 
— внешние источники и «матричный элемент» (143) является функционалом от них; 
бозонные, а остальные — фермионные источники. Если функционал А заменить единицей, мы получим обобщение амплитуды 
Это обобщение, аналогичное во многих отношениях статистической сумме в статистической механике, называется производящим функционалом, поскольку при разложении его в ряд по степеням источников, коэффициентами будут матричные элементы хронологических произведений полевых операторов. Коэффициент нулевого порядка есть исходная амплитуда (139).
На функционал 5 можно смотреть как на обобщенный функционал действия. С помощью соотношений (97) и (98) легко показать, что он БРС-инвариантен. Допустим, что переменные 
в интеграле (144) подвергнуты некоторому преобразованию БРС. Поскольку это немые переменные, интеграл остается неизменным. Поэтому
С помощью равенства
где 
— любая функция 
этот результат можно представить в форме
или
Уравнение (148) выражает важное свойство симметрии производящего функционала и прямо ведет к тождеству Уорда — Такахаши, которое рассматривается в разд. 5.8. Отметим, что производная по М является обычной частной производной, а не функциональной производной; М не несет никаких индексов и потому не зависит от пространства-времени.
в экспоненте нарушает калибровочную симметрию и устраняет избыточность, имеющуюся в интеграле (108). Но одна важная симметрия остается. Легче всего увидеть ее, вводя два новых антикоммутирующих поля 
и используя формальные правила интегрирования по таким полям, введенные Березиным [6]. Эти правила аналогичны во многих отношениях известным правилам для обычных определенных интегралов от 
до 
с подынтегральными выражениями, асимптотически обращающимися в нуль. Например, интегралы от полных производных обращаются в нуль и положение нулевой точки можно
