Главная > Общая теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА

В дополнение к выражению (44) вариационное уравнение (42) имеет также следующий формальный интеграл:

Сравнивая (63) и (716), получаем еще одно выражение для W:

Между выражениями (44) и (72) есть важное различие. В то время как интеграл в (44) расходится в нижнем пределе, выражение (72) конечно, в чем можно убедиться, дифференцируя (65) и аналитически продолжая из области . Отбрасывая в

(72) постоянную интегрирования, находим

Этот метод получения конечного значения для использовался Даукером и Критчли [27] и Хокингом [48] и известен как регуляризация через дзета-функцию. Есть другой распространенный метод, известный как размерная регуляризация, который приводит к весьма похожим результатам. В этом методе выражение (46) подставляется в (45) и (44), определяется аналитическим продолжением по размерности пространства-времени Когда физическая размерность нечетна, метод, использующий дзета-функцию, и размерный метод дают тождественные результаты. При четной физической размерности результаты по размерному методу отличаются от выражений (73) в членах, содержащих Для того чтобы получить результаты размерной регуляризации, нужно в (73) множители, содержащие постоянную Эйлера 7, заменить определенными функциями каждая из которых имеет простой полюс при соответствующей физической размерности.

Явно выделенные величины А принято рассматривать как перенормировочные члены, которые должны быть поглощены контрчленами в классическом действии Поэтому обе регуляризационные схемы приводят к одним и тем же физическим результатам. Отметим, что при в классическое действие должен быть включен контрчлен, пропорциональный Такой контрчлен требует введения новой неклассической константы взаимодействия. О некоторой неоднозначности, которая возникает из-за присутствия такого члена, будет сказано ниже.

При простом отбрасывании в (73) перенормировочных членов мы не получаем полностью перенормированного Нужно еще исключить некоторые другие члены. Рассмотрим сначала случай Интегрированием по частям можно непосредственно убедиться

что

где

есть полностью перенормированное Отметим, что его можно было бы получить непосредственно из выражения (44), просто вычитая из в каждом случае столько первых членов асимптотического разложения, сколько нужно для того, чтобы интеграл стал сходящимся. Эти вычитаемые члены можно считать соответствующими в формуле (32).

Этот простой вычитательный алгоритм применим также при и нечетном Но он не всегда применим при и четном ; при этом приходится исследовать каждый случай отдельно. Трудность здесь в том, что теперь в подынтегральных выражениях в (77) уже нет множителя поэтому нечем контролировать сходимость интеграла при верхнем пределе. Эта проблема возникает не из-за функции поведение которой при верхнем пределе

предполагается хорошим, а из-за вычитаемого члена более высокой степени по is, а именно из-за члена в

Рассмотрим сначала случай Тогда по формуле Гаусса — Бонне пропорционально характеристике Эйлера — Пуанкаре данного пространства-времени. Поэтому оно не просто конформноинвариантно, но также и метрически-инвариантно и не дает вклада в перенормированный тензор натяжений

Это означает, что (77а) можно формально использовать в уже выписанном виде; при этом получим 00

Величина в квадратных скобках в формуле (79) порядка при , следовательно, интеграл сходится.

Случай значительно сложнее. Положим так что уравнение поля будет конформно-инвариантным. Тогда (см. (53)), и член с выпадает из (77в). Член с , напротив, не. обращается в нуль. Более того, хотя интеграл и конформно-инвариантен, он все же не является метрически-инвариантным. Его функциональная производная по не обращается в нуль, за исключением частных случаев. Наиболлее важными частными случаями являются те, в которых пространство-время либо конформно-плоское (тензор Вейля равен нулю), либо риччи-плоское (тензор Риччи равен нулю). В этих случаях выражением (77в) можно формально пользоваться в том виде, как оно написано; при этом получим

пространство-время конформно-плоское или риччи-плоское). Величина в квадратных скобках теперь порядка при

Если рассматривается конформно-неинвариантное уравнение или если пространство-время не является ни конформно-плоским, ни риччи-плоским, то выражением (77в) нельзя пользоваться даже формально. Мы должны работать непосредственно с (73в), вводя

Здесь с неизбежностью появляется произвольный масштабный множитель х, который следовало ввести с самого начала в определения (62) и (63). Нетрудно убедиться, что во всех предыдущих случаях х исчезнет из теории после перенормировки, но в данном случае он сохраняется в логарифмическом члене. Таким образом, здесь мы сталкиваемся с неоднозначностью. Легко видеть, что изменение х приводит к изменению в пропорциональному Такое изменение может быть компенсировано определенным контрчленом, но это не поможет нам, так как никогда нельзя избавиться полностью от х. За исключением обращения к эксперименту (который находится далеко за пределами достижимого ввиду того, что здесь мы имеем дело с ничтожно малыми эффектами), у нас, по-видимому, нет никакого способа определить, чему должно быть равно значение х.

Эта неоднозначность связана с неперенормируемостью квантовой гравитации. Когда мы вынуждены ввести две неклассические величины уже в однопетлевом приближении — константу взаимодействия, на которую умножается и которая должна содержаться в 5, и масштабный множитель. Как мы уже отметили, эти две величины не независимы: изменение одной из них может быть компенсировано изменением другой, что представляет собой частный случай более общих соотношений, которые в последние годы получили известность как уравнения ренормгруппы. Если бы квантовая гравитация была перенормируема, можно было бы выписать конечное число таких уравнений, причем в каждом было бы конечное число членов. В действительности же требуется бесконечное число членов, отражающих все возрастающее число новых типов бесконечностей (и соответственно неоднозначностей), появляющихся в двухпетлевом и более высоких приближениях (см. статью Вейнберга VIII в настоящем сборнике). С точки зрения общепринятой теории возмущений для фиксации теории при этом потребуется бесконечное число экспериментов.

С другой стороны, результаты предварительных исследований 120, 54, 55] дают серьезные основания думать, что если бы нашлись надежные методы приближенного суммирования полного ряда квантовой теории возмущений, то квантовая гравитация оказалась бы конечной и все вторичные величины полностью определялись бы постоянной Планка и классическими постоянными и с

В частности, в той мере, в какой однопетлевое приближение (82) дает грубое приближение к точному эффективному действию, масштабный множитель х должен быть порядка планковской массы . С этой точки зрения недостатком выражения (82) можно считать лишь то, что мы пока не знаем, как вычислить коэффициент пропорциональности между

1
Оглавление
email@scask.ru