4.4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПЕРЕНОРМИРОВКА

В дополнение к выражению (44) вариационное уравнение (42) имеет также следующий формальный интеграл:

Сравнивая (63) и (716), получаем еще одно выражение для W:

Между выражениями (44) и (72) есть важное различие. В то время как интеграл в (44) расходится в нижнем пределе, выражение (72) конечно, в чем можно убедиться, дифференцируя (65) и аналитически продолжая из области . Отбрасывая в

(72) постоянную интегрирования, находим

Этот метод получения конечного значения для использовался Даукером и Критчли [27] и Хокингом [48] и известен как регуляризация через дзета-функцию. Есть другой распространенный метод, известный как размерная регуляризация, который приводит к весьма похожим результатам. В этом методе выражение (46) подставляется в (45) и (44), определяется аналитическим продолжением по размерности пространства-времени Когда физическая размерность нечетна, метод, использующий дзета-функцию, и размерный метод дают тождественные результаты. При четной физической размерности результаты по размерному методу отличаются от выражений (73) в членах, содержащих Для того чтобы получить результаты размерной регуляризации, нужно в (73) множители, содержащие постоянную Эйлера 7, заменить определенными функциями каждая из которых имеет простой полюс при соответствующей физической размерности.

Явно выделенные величины А принято рассматривать как перенормировочные члены, которые должны быть поглощены контрчленами в классическом действии Поэтому обе регуляризационные схемы приводят к одним и тем же физическим результатам. Отметим, что при в классическое действие должен быть включен контрчлен, пропорциональный Такой контрчлен требует введения новой неклассической константы взаимодействия. О некоторой неоднозначности, которая возникает из-за присутствия такого члена, будет сказано ниже.

При простом отбрасывании в (73) перенормировочных членов мы не получаем полностью перенормированного Нужно еще исключить некоторые другие члены. Рассмотрим сначала случай Интегрированием по частям можно непосредственно убедиться

что

где

есть полностью перенормированное Отметим, что его можно было бы получить непосредственно из выражения (44), просто вычитая из в каждом случае столько первых членов асимптотического разложения, сколько нужно для того, чтобы интеграл стал сходящимся. Эти вычитаемые члены можно считать соответствующими в формуле (32).

Этот простой вычитательный алгоритм применим также при и нечетном Но он не всегда применим при и четном ; при этом приходится исследовать каждый случай отдельно. Трудность здесь в том, что теперь в подынтегральных выражениях в (77) уже нет множителя поэтому нечем контролировать сходимость интеграла при верхнем пределе. Эта проблема возникает не из-за функции поведение которой при верхнем пределе

предполагается хорошим, а из-за вычитаемого члена более высокой степени по is, а именно из-за члена в

Рассмотрим сначала случай Тогда по формуле Гаусса — Бонне пропорционально характеристике Эйлера — Пуанкаре данного пространства-времени. Поэтому оно не просто конформноинвариантно, но также и метрически-инвариантно и не дает вклада в перенормированный тензор натяжений

Это означает, что (77а) можно формально использовать в уже выписанном виде; при этом получим 00

Величина в квадратных скобках в формуле (79) порядка при , следовательно, интеграл сходится.

Случай значительно сложнее. Положим так что уравнение поля будет конформно-инвариантным. Тогда (см. (53)), и член с выпадает из (77в). Член с , напротив, не. обращается в нуль. Более того, хотя интеграл и конформно-инвариантен, он все же не является метрически-инвариантным. Его функциональная производная по не обращается в нуль, за исключением частных случаев. Наиболлее важными частными случаями являются те, в которых пространство-время либо конформно-плоское (тензор Вейля равен нулю), либо риччи-плоское (тензор Риччи равен нулю). В этих случаях выражением (77в) можно формально пользоваться в том виде, как оно написано; при этом получим

пространство-время конформно-плоское или риччи-плоское). Величина в квадратных скобках теперь порядка при

Если рассматривается конформно-неинвариантное уравнение или если пространство-время не является ни конформно-плоским, ни риччи-плоским, то выражением (77в) нельзя пользоваться даже формально. Мы должны работать непосредственно с (73в), вводя

Здесь с неизбежностью появляется произвольный масштабный множитель х, который следовало ввести с самого начала в определения (62) и (63). Нетрудно убедиться, что во всех предыдущих случаях х исчезнет из теории после перенормировки, но в данном случае он сохраняется в логарифмическом члене. Таким образом, здесь мы сталкиваемся с неоднозначностью. Легко видеть, что изменение х приводит к изменению в пропорциональному Такое изменение может быть компенсировано определенным контрчленом, но это не поможет нам, так как никогда нельзя избавиться полностью от х. За исключением обращения к эксперименту (который находится далеко за пределами достижимого ввиду того, что здесь мы имеем дело с ничтожно малыми эффектами), у нас, по-видимому, нет никакого способа определить, чему должно быть равно значение х.

Эта неоднозначность связана с неперенормируемостью квантовой гравитации. Когда мы вынуждены ввести две неклассические величины уже в однопетлевом приближении — константу взаимодействия, на которую умножается и которая должна содержаться в 5, и масштабный множитель. Как мы уже отметили, эти две величины не независимы: изменение одной из них может быть компенсировано изменением другой, что представляет собой частный случай более общих соотношений, которые в последние годы получили известность как уравнения ренормгруппы. Если бы квантовая гравитация была перенормируема, можно было бы выписать конечное число таких уравнений, причем в каждом было бы конечное число членов. В действительности же требуется бесконечное число членов, отражающих все возрастающее число новых типов бесконечностей (и соответственно неоднозначностей), появляющихся в двухпетлевом и более высоких приближениях (см. статью Вейнберга VIII в настоящем сборнике). С точки зрения общепринятой теории возмущений для фиксации теории при этом потребуется бесконечное число экспериментов.

С другой стороны, результаты предварительных исследований 120, 54, 55] дают серьезные основания думать, что если бы нашлись надежные методы приближенного суммирования полного ряда квантовой теории возмущений, то квантовая гравитация оказалась бы конечной и все вторичные величины полностью определялись бы постоянной Планка и классическими постоянными и с

В частности, в той мере, в какой однопетлевое приближение (82) дает грубое приближение к точному эффективному действию, масштабный множитель х должен быть порядка планковской массы . С этой точки зрения недостатком выражения (82) можно считать лишь то, что мы пока не знаем, как вычислить коэффициент пропорциональности между