6.7. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА; ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ

В этом разделе существенным образом используется швингеровское среднее

Здесь А — произвольный функционал операторов числитель и знаменатель в правой части определены формулами (143) и (144). Если — вакуумные состояния, а источники обращаются в нуль, это выражение превращается в швингеровское среднее (24). Удобно ввести

Если источники обращаются в нуль, средние обращаются в нуль и, кроме того, обращается в нуль то превращается в среднее, введенное в (25). Заметим, что хотя символы выше были использованы для переменных интегрирования, никакой путаницы относительно их смысла на практике не возникнет.

Удобно также ввести коллективные обозначения: — для операторов — для их средних и для Пусть — произвольные приращения источников. Тогда мы можем написать

где

Разделим обе части равенства (151) на , сравнивая одинаковые степени получим бесконечную последовательность соотношений

и т. д., где обозначает сумму по различным перестановкам индексов, причем каждое слагаемое берется со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности перестановок фермионных индексов; -одночастичный пропагатор, многочастичные функции Грина (в статистической механике они называются корреляционными функциями); они удовлетворяют граничным условиям, определяемым состояниями

Любой функционал источников можно также рассматривать как функционал средних Из (152) и (153) видно, что одночастичный пропагатор является матрицей преобразования от одного набора переменных к другому:

Этот факт можно использовать для установления важного соотношения между функционалом и швингеровским средним от операторных полевых уравнений. Последние получаются из формального функционального тождества

Здесь — оператор, соответствующий функционалу но ввиду присутствия фермионных полей мы должны теперь делать различие между правым и левым дифференцированиями. Когда все источники исчезают, в равенстве (157) индекс А становится равным и оно приводится к виду

Это как раз уравнение (23) с добавлением упомянутых выше опущенных членов (содержащих Р и

Если мы продифференцируем (157) слева по У в и воспользуемся соотношением (156), то получим

Здесь функциональная производная в скобках берется по полевому оператору а функциональная производная вне скобок берется по усредненному полю Легко видеть, что есть оператор, одночастичным пропагатором для которого

является функция Грина. Можно показать, что в силу своих граничных условий является одновременно и левой, как в (159), и правой функцией Грина. Она обладает следующей симметрией:

откуда следует

где подразумевается, что индексы в показателе принимают значения +1 или —1 в зависимости от того, бозонные они или фермионные. Но (161) представляет собой как раз условие существования функционала , такого, что

Функционал Г известен как эффективное действие. Он удовлетворяет уравнениям

и связан с функционалом преобразованием Лежандра

Это последнее соотношение можно проверить дифференцированием по и использованием уравнения (163) в виде Тогда имеем

а это есть как раз соотношение (152). Поскольку функционал Г определен с точностью до произвольной постоянной интегрирования, равенство (165) можно рассматривать как фиксирующее эту постоянную.

Функционал Г называют также производящим функционалом собственных вершин. Это название основано на его связи с многочастичными функциями Грина. Дифференцируя (164), можно связать функциональные производные одночастичного пропагатора с производными Г. Эти соотношения приводят, например, к такому равенству:

Если пропагаторы изображать линиями, а третьи и более высокие производные Г — вершинами, легко увидеть, что каждое новое дифференцирование по источнику добавляет всеми возможными

способами новую линию в предыдущие диаграммы. Таким образом, каждая функция Грина данного порядка представима как сумма всевозможных древесных диаграмм этого порядка. Из того, что (при существовании асимптотических областей) -матрицу можно выразить через хронологические произведения, появляющиеся в (151), и из того, что эти произведения выражаются через функции Грина (154), (155), следует, что при использовании Г для построения -матрицы нужны только древесные диаграммы. Никаких замкнутых петель не появляется. Вершины, порожденные функционалом Г, являются собственными вершинами; в них уже включены все квантовые поправки. Замечая, что аналогичные древесные диаграммы появляются в классической теории возмущений, но с заменой Г на можно показать, что Г описывает динамику когерентных полей большой амплитуды с квантовыми поправками. Это должно быть справедливо и в случаях, когда не существует асимптотических областей и нет -матрицы.