8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

Как уже было объяснено в разд. 3, статистическая сумма

для системы с температурой находящейся в сферической полости радиуса задается интегралом по траекториям по всем метрикам, которые могут быть введены внутри границы с топологией где - сфера радиуса окружность длиной . В приближении стационарной фазы, описанном в разд. 5, преобладающий вклад вносят метрики, близкие к классическому решению с данными граничными условиями. Одним из таких решений будет плоское пространство, в котором по евклидовой координате времени производится отождествление с периодом Топологически это Действие фоновой метрики равно нулю, таким образом, она не дает вклада в логарифм статистической суммы. Если пренебречь малыми поправками, возникающими из-за конечных размеров полости, то можно точно вычислить однопетлевой член

Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепловых гравитонов на фоне плоского пространства.

Метрика Шварцшильда при представляет собой другое решение, удовлетворяющее тем же граничным условиям. Это решение обладает топологией и его действие Однопетлевой член пока еще не вычислен, но по масштабным соображениям, приведенным в разд. 6, он должен иметь вид

где постоянная связана с нормировочной постоянной Если то размеры полости много больше черной дыры и следует ожидать, что значение приближается к значению для

плоского пространства (99). Поэтому функция должна иметь вид

По этой статистической сумме можно вычислить среднее значение энергии

Применяя это выражение к вычислению вклада от действия решения Шварцшильда, мы получим как и следовало ожидать. Можно вычислить также энтропию, которая может быть определена как

где — вероятность того, что система находится в состоянии. Тогда

Применяя эту формулу к вычислению вклада от действия для метрики Шварцшильда, получим

где А — площадь горизонта событий.

Это замечательный результат, так как он показывает, что в дополнение к энтропии, возникающей от однопетлевого члена (ее можно рассматривать как энтропию тепловых гравитонов на шварцшильдовом фоне), черные дыры обладают внутренней энтропией, возникающей от действия той метрики, которая соответствует стационарности фазы. Эта внутренняя энтропия в точности совпадает с энтропией, приписываемой черной дыре на основании вычислений рождения частиц на заданном фоне и использования первого закона механики черных дыр (см. [48, 491). Отсюда мы видим, что идея о привнесении гравитацией в физику нового уровня непредсказуемости или хаотичности подтверждается не только полуклассическим приближением, но и подходом, в котором гравитационное поле квантовано.

Одной из причин, по которым классические решения в теории гравитации обладают внутренней энтропией, а в теории Янга — Миллса или не обладают, является то, что действия этих теорий в отличие от гравитационного действия масштабно-инвариантны. Если асимптотически-плоское решение с периодом и действием то — решение с периодом и действием Это значит, что действие должно иметь вид где с — постоянная, которая зависит от топологии этого решения. Тогда и в то же время Отсюда Причиной

того, что действие I равно а не как следовало бы ожидать для единственного состояния с энергией является отличие топологии решения Шварцшильда от топологии периодически отождествленного плоского пространства. Из того факта, что число Эйлера для решения Шварцшильда равно 2, следует, что вектор Киллинга трансляции по времени должен быть равен нулю на некотором множестве (в действительности на двумерной сфере). Таким образом, поверхности постоянного имеют две границы: одну на поверхности сферической полости радиуса и другую на горизонте

Рассмотрим теперь область шварцшильдова решения, ограниченную поверхностями (рис. 4). Амплитуда перехода от поверхности к поверхности та определяется интегралом по траекториям по всем метрикам, которые могут быть введены в пределах этой границы, причем главный вклад вносит метрика, обеспечивающая стационарность фазы, а ею как раз и является часть решения Шварцшильда, ограниченная этими поверхностями.

Рис. 4. Плоскость решения Шварцшильда. Амплитуда перехода с поверхности к поверхности определяется преимущественно действием заштрихованной части решении Шварцшильда.

Действие для этой метрики стационарности фазы дают поверхностные члены, поскольку Поверхностные члены для поверхностей взаимно сокращаются. Вклад поверхности равен но, кроме того, будет также вклад «угла» при где встречаются поверхности так как вторая фундаментальная форма границы К ведет себя здесь как -функция. Слегка закругляя этот угол, мы можем вычислить этот вклад; он оказывается равным . Таким образом, полное действие равно как и следовало ожидать для единственного состояния с энергией Но если рассматривать статистическую сумму, то границей будет просто , следовательно, действие будет равно а не Эта разность, равная дает энтропию черной дыры.

Таким образом, мы видим: тот факт, что гравитационное поле может иметь различные топологии, приводит к качественно новым явлениям. Эти явления нельзя было бы обнаружить, используя канонический подход, поскольку такие метрики, как решение Шварцшильда, в этом подходе не допускаются.

Приведенный вывод статистической суммы и энтропии черной дыры основан на использовании канонического ансамбля, в котором система находится в равновесии с бесконечным резервуаром энергии при температуре Т. Однако канонический ансамбль неустойчив в присутствии черной дыры, поскольку если черная дыра поглотит хоть немного дополнительной энергии, она несколько остынет и будет и далее поглощать энергии больше, чем испускать ее. Эта патология отражается в том факте, что т. е. отрицательна. Для получения разумных результатов в отношении черных дыр мы должны пользоваться микроканоническим ансамблем, в котором в изолированную полость заключается определенное количество энергии Е и рассматриваются все возможные конфигурации, которые обладают заданной энергией. Пусть — число состояний гравитационного поля с энергиями между Е и в сферической полости Статистическую сумму дает преобразование Лапласа над N(Е):

Отсюда плотность состояний формально получается обратным преобразованием Лапласа:

Для больших главный вклад в дает действие метрики Шварцшильда, и этот вклад имеет вид Следовательно, правая часть (107) будет расходиться, если интеграл взят помнимой оси как это предполагается. Чтобы получить конечное значение для (107), приходится придерживаться иного способа: брать интеграл вдоль действительной оси Это очень похоже на процедуру, использованную при вычислении функционального интеграла в приближении стационарной фазы, где мы поворачивали контур интегрирования для каждого квадратичного члена так, чтобы получался сходящийся гауссов интеграл. При следовании этому рецепту множитель в (107) дает мнимое значение для плотности состояний если статистическая сумма действительна. Однако, как уже упоминалось в разд. 6, оператор которому подчиняются неконформные или бесследовые возмущения в метрике Шварцшильда, обладает одним отрицательным собственным значением. Это вносит в однопетлевой член для множитель Таким образом, статистическая сумма оказывается чисто мнимой, а плотность

состояний — действительной. Это как раз то, чего и следовало ожидать. Из-за того что канонический ансамбль не определен корректно, получаем патологическую статистическую сумму, но вследствие правильного поведения микроканонического ансамбля плотность состояний действительна и положительна.

Выходить за пределы приближения стационарной фазы при вычислении интеграла в (107) не имеет смысла, поскольку статистическая сумма вычислена только в этом приближении. Если мы возьмем в качестве вклада фоновой метрики то получим, что черная дыра массы имеет плотность состояний Следовательно, интеграл в (106) не сходится, если не повернуть контур интегрирования так, чтобы он лежал вдоль мнимой оси Е. Если включить однопетлевой член то точка стационарности фазы при интегрировании по в (107) для плоской фоновой метрики находится при

и для фоновой метрики Шварцшильда при

Этим уравнениям можно дать такую интерпретацию: Е равно энергии тепловых гравитонов и черной дыры, если она есть. Используя приближенный вид находим, что при объеме полости V, удовлетворяющем неравенству

преобладающий вклад в дает фоновая метрика плоского пространства. Таким образом, в этом случае наиболее вероятное состояние системы — тепловые гравитоны без каких-либо черных дыр. Если

V меньше, чем нужно для выполнения условия (110), то появляются две точки стационарности фазы для фоновой метрики Шварцшильда. Одна из них с меньшим значением дает вклад, больший чем фоновая плоская метрика. Следовательно, наиболее вероятным состоянием системы будет черная дыра в равновесии с тепловыми гравитонами. Эти результаты подтверждают прежние выводы, основанные на полуклассических приближениях [20, 28].