II. ПРОБЛЕМА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ДИНАМИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

А. Фишер, Дж. Марсден

Эта статья посвящена обсуждению ряда взаимосвязей между задачей Коши, каноническим формализмом, устойчивостью линеаризации и пространством гравитационных степеней свободы. В последнее десятилетие наблюдается возрождение интереса к этим вопросам, поскольку в ходе развития математических методов и подходов между ними стали выясняться тесные связи. В настоящее время литература, касающаяся этих разделов общей теории относительности, представляет собой быстро расширяющуюся область.

В этой статье мы стремимся дать представление о текущем состоянии предмета с нашей точки зрения. Для установления связей между упомянутыми выше вопросами будут использованы развитые нами геометрические методы. При этом основными инструмен тами будут служить нелинейный функциональный анализ, формализм сопряженных величин для гамильтоновых полевых теорий и бесконечномерная симплектическая геометрия. Как мы увидим, этот математический аппарат и рассматриваемые вопросы естественным образом связаны между собой. Для более полного ознакомления с нынешним состоянием предмета читатель отсылается к работам [7, 35, 53, 103, 104, 121—124, 144, 150].

В разд. 1 развивается гамильтонов формализм для динамики общей теории относительности, называемый обычно формализмом АДМ (Арновитта—Дезера — Мизнера). При этом используются инвариантные понятия и метод сопряженных величин, разработанный авторами. Будет показано, как можно представить динамическую систему Эйнштейна в следующей явной и компактной форме:

Такой вид уравнений полезен для изучения устойчивости линеаризации и пространства гравитационных степеней свободы. Мы наметим схему, позволяющую распространить формализм сопряженных

величин на все теории, в которых связь с гравитацией минимальна.

Формализм сопряженных величин естественным образом ведет к изучению многообразия связи (разд. 2); основным результатом этого раздела является ответ на вопрос, какие точки принадлежат многообразию (регулярны), а какие являются точками бифуркации (сингулярны). Мы покажем также (используя формализм сопряженных величин), что подмногообразие связи находится в инволюции относительно динамических уравнений. Уравнения, используемые для получения этого результата, эквивалентны каноническим коммутационным соотношениям Дирака.

На основе этого динамического формализма в разд. 3 и 4 обсуждаются существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши. В разд. 3 резюмируется общая теория гиперболической задачи с начальными данными, которая потребуется нам для теории относительности. Мы излагаем абстрактный подход, из которого как частные случаи следуют результаты, касающиеся существования и единственности для симметричных гиперболических систем первого порядка, для гиперболических систем второго порядка и для комбинации этих систем. Приводимые нами теоремы являются наиболее сильными из известных результатов в отношении дифференцируемости. Соответственно их применение в разд. 5 приводит к наиболее сильным результатам в отношении существования и единственности для задач Коши для уравнений поля в пустом пространстве (теоремы 23 и 27). Попутно будут сделаны замечания о том, как применить эту абстрактную теорию к полям, взаимодействующим с гравитацией.

Несмотря на значительный прогресс в изучении проблемы начальных данных, остается нерешенной главная проблема связи динамических сингулярностей (несуществование решений уравнений эволюции «для всех времен») с сингулярностями в смысле Хокинга — Пенроуза.

В разд. 5, комбинируя результаты разд. 2 и 4, мы получаем условия, при которых первый порядок теории возмущений имеет силу, и показываем, что при наличии вектора Киллинга ряд теории возмущений должен быть перестроен для согласования с существованием этого вектора. Здесь же приведены необходимые условия второго порядка для того, чтобы возмущение было интегрируемо. Этими результатами мы обязаны совместной работе с В. Монкри.

Наконец, в разд. 6 обсуждается исключение калибровочных условий с помощью общей процедуры редукции для гамильтоновых систем. Применяя этот общий метод, мы показываем далее, что пространство гравитационных степеней свободы является, вообще говоря, бесконечномерным симплектическим многообразием. Таким образом, множество геометрий пустого пространства есть в общем случае бесконечномерное гравитационное фазовое пространство без сингулярностей. Наш общий формализм может быть

применен также и к полям, взаимодействующим с гравитацией минимально; без особого труда можно показать, что пространство степеней свободы для этих полей и гравитации в общем случае также является симплектическим многообразием.

Дальнейшие сведения по этим вопросам читатель может найти в работах [2—4, 54, 92—95, 108, 114, 142, 145—149, 173].

Авторы благодарны Дж. Армсу, И. Шоке-Брюа, К. Кухаржу,

В. Монкри, Р. Палэ, Р. Саксу и А. Таубу за полезные советы, а также С. Хокингу и В. Израэлю за любезное предложение участвовать в этом сборнике.